楕円 $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ と直線 $y = -x - 1$ の2つの交点を $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ ($x_1 < x_2$) とする。 (1) $x_1$ の値を求めよ。 (2) 線分ABの長さを求めよ。 (3) 2点A, Bと異なる楕円上の点Cを考え、三角形ABCの面積が最大となるような点Cの座標を求めよ。 (4) そのときの三角形ABCの面積を求めよ。

1. 問題の内容

楕円 $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ と直線 $y = -x - 1$ の2つの交点を $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ ($x_1 < x_2$) とする。

(1) $x_1$ の値を求めよ。

(2) 線分ABの長さを求めよ。

(3) 2点A, Bと異なる楕円上の点Cを考え、三角形ABCの面積が最大となるような点Cの座標を求めよ。

(4) そのときの三角形ABCの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 楕円の式 $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ に $y = -x - 1$ を代入して $x$ の値を求める。

$\frac{x^2}{2} + (-x - 1)^2 = 1$

$\frac{x^2}{2} + x^2 + 2x + 1 = 1$

$\frac{3}{2}x^2 + 2x = 0$

$3x^2 + 4x = 0$

$x(3x + 4) = 0$

$x = 0, -\frac{4}{3}$

$x_1 < x_2$ より、$x_1 = -\frac{4}{3}$、 $x_2 = 0$

$y_1 = -x_1 - 1 = -(-\frac{4}{3}) - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$

$y_2 = -x_2 - 1 = -0 - 1 = -1$

よって、 $A(-\frac{4}{3}, \frac{1}{3})$, $B(0, -1)$

(2) 線分ABの長さを求める。

$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$AB = \sqrt{(0 - (-\frac{4}{3}))^2 + (-1 - \frac{1}{3})^2}$

$AB = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + (-\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{32}{9}} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

(3) 三角形ABCの面積が最大となるのは、点Cが直線ABと平行な楕円の接線上にあるときである。

直線ABの傾きは $\frac{-1 - \frac{1}{3}}{0 - (-\frac{4}{3})} = \frac{-\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}} = -1$

よって、点Cにおける楕円の接線の傾きは-1である。

楕円 $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ を微分すると $\frac{x}{1} + 2y\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2y}$

$-\frac{x}{2y} = -1$

$x = 2y$

$\frac{(2y)^2}{2} + y^2 = 1$

$2y^2 + y^2 = 1$

$3y^2 = 1$

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$x = 2y$ より、 $x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$

点CはA, Bと異なる点なので、

C$(\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

(4) $AB = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

直線ABの方程式は $y = -x - 1$ つまり $x + y + 1 = 0$

点Cと直線ABの距離を求める。

$d = \frac{|\frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|\sqrt{3} + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times AB \times d = \frac{1}{2} \times \frac{4\sqrt{2}}{3} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = \frac{2\sqrt{3} + 2}{3} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x_1 = -\frac{4}{3}$

(2) 線分ABの長さは $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

(3) 点Cの座標は $(\frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

(4) 三角形ABCの面積は $\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3}$