正四面体OABCにおいて、底面である三角形ABCの重心をGとする。ベクトル$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$であるとき、以下の問いに答える。 (1) $\vec{OG}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表せ。 (2) $\vec{OG} \perp \vec{AB}$であることを証明せよ。

1. 問題の内容

正四面体OABCにおいて、底面である三角形ABCの重心をGとする。ベクトル$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$であるとき、以下の問いに答える。

(1) $\vec{OG}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表せ。

(2) $\vec{OG} \perp \vec{AB}$であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) 重心の公式を用いる。三角形ABCの重心Gの位置ベクトル$\vec{OG}$は、頂点の位置ベクトルの平均で表される。

$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}$

$\vec{OG} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

(2) $\vec{OG} \perp \vec{AB}$を示すためには、$\vec{OG} \cdot \vec{AB} = 0$となることを示せば良い。

まず、$\vec{AB}$を$\vec{a}, \vec{b}$で表す。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$

次に、$\vec{OG} \cdot \vec{AB}$を計算する。

$\vec{OG} \cdot \vec{AB} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \cdot (\vec{b} - \vec{a})$

$= \frac{1}{3} [ (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) ]$

$= \frac{1}{3} [ \vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{c} \cdot \vec{a} ]$

$= \frac{1}{3} [ - |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + \vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{c} \cdot \vec{a} ]$

正四面体OABCなので、$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}|$である。また、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$であり、他の内積についても同様に計算できる。正四面体なので、どの辺の長さも等しく、またどの面も正三角形なので、$\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$のなす角は全て$\theta = \arccos{(1/3)}$である。したがって、$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a}$。

$\vec{OG} \cdot \vec{AB} = \frac{1}{3} [ - |\vec{a}|^2 + |\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{b} ] = 0$

よって、$\vec{OG} \perp \vec{AB}$である。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OG} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

(2) $\vec{OG} \perp \vec{AB}$である。