$\triangle OAB$ において、$OA = 3$, $OB = 5$, $\angle AOB = 120^\circ$ である。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とする。 (1) $\vec{OL}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表し、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ。ただし、$L$ は辺 $AB$ の中点である。 (2) 辺 $OA$ の中点を $M$, 辺 $OB$ の中点を $N$ とする。点 $C$ が $15\vec{LC} - 5\vec{MC} - 9\vec{NC} = \vec{0}$ を満たすとき、$\vec{OC}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表し、直線 $OC$ と直線 $AB$ の交点を $D$ とするとき、$\vec{OD}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。 (3) (2) のとき、点 $C$ から直線 $AB$ に引いた垂線と直線 $AB$ の交点を $H$ とする。$\vec{OH}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。また、線分 $DH$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$OA = 3$, $OB = 5$, $\angle AOB = 120^\circ$ である。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とする。

(1) $\vec{OL}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表し、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ。ただし、$L$ は辺 $AB$ の中点である。

(2) 辺 $OA$ の中点を $M$, 辺 $OB$ の中点を $N$ とする。点 $C$ が $15\vec{LC} - 5\vec{MC} - 9\vec{NC} = \vec{0}$ を満たすとき、$\vec{OC}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表し、直線 $OC$ と直線 $AB$ の交点を $D$ とするとき、$\vec{OD}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。

(3) (2) のとき、点 $C$ から直線 $AB$ に引いた垂線と直線 $AB$ の交点を $H$ とする。$\vec{OH}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。また、線分 $DH$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$L$ は辺 $AB$ の中点なので、

$\vec{OL} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos 120^\circ = 3 \cdot 5 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{15}{2}$

(2)

$15\vec{LC} - 5\vec{MC} - 9\vec{NC} = \vec{0}$ より、

$15(\vec{OC} - \vec{OL}) - 5(\vec{OC} - \vec{OM}) - 9(\vec{OC} - \vec{ON}) = \vec{0}$

$15\vec{OC} - 15\vec{OL} - 5\vec{OC} + 5\vec{OM} - 9\vec{OC} + 9\vec{ON} = \vec{0}$

$\vec{OC} = 15\vec{OL} - 5\vec{OM} - 9\vec{ON}$

$\vec{OC} = 15 \cdot \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - 5 \cdot \frac{\vec{a}}{2} - 9 \cdot \frac{\vec{b}}{2} = \frac{15\vec{a} + 15\vec{b} - 5\vec{a} - 9\vec{b}}{2} = \frac{10\vec{a} + 6\vec{b}}{2} = 5\vec{a} + 3\vec{b}$

点 $D$ は直線 $OC$ 上にあるので、$\vec{OD} = k\vec{OC} = 5k\vec{a} + 3k\vec{b}$ （$k$ は実数）と表せる。

また、点 $D$ は直線 $AB$ 上にあるので、$\vec{OD} = s\vec{a} + (1-s)\vec{b}$ （$s$ は実数）と表せる。

したがって、$5k = s$ かつ $3k = 1-s$ となる。

$5k + 3k = s + 1 - s$ より、$8k = 1$ なので、$k = \frac{1}{8}$ となる。

$\vec{OD} = \frac{5}{8} \vec{a} + \frac{3}{8} \vec{b}$

(3)

$\vec{OH} = x\vec{a} + (1-x)\vec{b}$ とおく。$\vec{CH} \perp \vec{AB}$ であるので、$\vec{CH} \cdot \vec{AB} = 0$ が成り立つ。

$\vec{CH} = \vec{OH} - \vec{OC} = x\vec{a} + (1-x)\vec{b} - (5\vec{a} + 3\vec{b}) = (x-5)\vec{a} + (-x-2)\vec{b}$

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$

$\vec{CH} \cdot \vec{AB} = ((x-5)\vec{a} + (-x-2)\vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0$

$(x-5)\vec{a} \cdot \vec{b} - (x-5)|\vec{a}|^2 + (-x-2)|\vec{b}|^2 - (-x-2)\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$(x-5)(-\frac{15}{2}) - (x-5)(9) + (-x-2)(25) - (-x-2)(-\frac{15}{2}) = 0$

$-\frac{15}{2}x + \frac{75}{2} - 9x + 45 - 25x - 50 - \frac{15}{2}x - 15 = 0$

$-15x + 75 - 18x + 90 - 50x - 100 - 15x - 30 = 0$

$-98x + 25 = 0$

$x = \frac{25}{98}$

$\vec{OH} = \frac{25}{98}\vec{a} + (1-\frac{25}{98})\vec{b} = \frac{25}{98}\vec{a} + \frac{73}{98}\vec{b}$

$\vec{DH} = \vec{OH} - \vec{OD} = \frac{25}{98}\vec{a} + \frac{73}{98}\vec{b} - (\frac{5}{8}\vec{a} + \frac{3}{8}\vec{b}) = (\frac{25}{98} - \frac{5}{8})\vec{a} + (\frac{73}{98} - \frac{3}{8})\vec{b} = (\frac{100-245}{392})\vec{a} + (\frac{292-294}{392})\vec{b} = -\frac{145}{392}\vec{a} - \frac{2}{392}\vec{b} = -\frac{145}{392}\vec{a} - \frac{1}{196}\vec{b}$

$|\vec{DH}|^2 = (-\frac{145}{392})^2 |\vec{a}|^2 + 2(-\frac{145}{392})(-\frac{1}{196}) \vec{a}\cdot\vec{b} + (-\frac{1}{196})^2 |\vec{b}|^2$

$= (\frac{145}{392})^2 \cdot 9 + 2(\frac{145}{392})(\frac{1}{196}) \cdot (-\frac{15}{2}) + (\frac{1}{196})^2 \cdot 25$

$= \frac{189225}{153664} - \frac{2175}{76832} + \frac{25}{38416}$

$= \frac{189225}{153664} - \frac{4350}{153664} + \frac{100}{153664} = \frac{184975}{153664}$

$|\vec{DH}| = \sqrt{\frac{184975}{153664}} = \frac{5\sqrt{7399}}{392}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OL} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{15}{2}$

(2) $\vec{OC} = 5\vec{a} + 3\vec{b}$, $\vec{OD} = \frac{5}{8} \vec{a} + \frac{3}{8} \vec{b}$

(3) $\vec{OH} = \frac{25}{98}\vec{a} + \frac{73}{98}\vec{b}$, $DH = \frac{5\sqrt{7399}}{392}$