$\triangle OAB$ において、$OA=3$, $OB=2$, $\angle AOB = 60^\circ$ とする。$\angle AOB$ の二等分線と辺 $AB$ の交点を $C$ とし、点 $D$ を線分 $OC$ 上の点とする。また、直線 $OA$ に関して点 $D$ と対称な点を $D'$、辺 $OB$ の中点を $E$ とし、線分 $DE$ と直線 $OA$ の交点を $F$ とする。 (1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ を求め、$OC$ を $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ で表す。 (2) $\vec{OD} = \frac{3}{4} \vec{OC}$ とする。線分 $DD'$ と直線 $OA$ の交点を $G$ とするとき、$OG$ を $\vec{OA}$ の実数倍で表す。また、$\vec{OA} \perp \vec{DG}$ より，$k$ の値を求め、$OD'$ を $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ で表す。 (3) $\vec{OD} = \frac{3}{4} \vec{OC}$ とする。点 $F$ は線分 $DE$ 上の点であるから、$\vec{OF}$ は $0 < s < 1$ を満たす実数 $s$ を用いて表される。このとき、$s$ の値を求め、$\vec{OF}$ を $\vec{OA}$ で表す。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$OA=3$, $OB=2$, $\angle AOB = 60^\circ$ とする。$\angle AOB$ の二等分線と辺 $AB$ の交点を $C$ とし、点 $D$ を線分 $OC$ 上の点とする。また、直線 $OA$ に関して点 $D$ と対称な点を $D'$、辺 $OB$ の中点を $E$ とし、線分 $DE$ と直線 $OA$ の交点を $F$ とする。

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ を求め、$OC$ を $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ で表す。

(2) $\vec{OD} = \frac{3}{4} \vec{OC}$ とする。線分 $DD'$ と直線 $OA$ の交点を $G$ とするとき、$OG$ を $\vec{OA}$ の実数倍で表す。また、$\vec{OA} \perp \vec{DG}$ より，$k$ の値を求め、$OD'$ を $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ で表す。

(3) $\vec{OD} = \frac{3}{4} \vec{OC}$ とする。点 $F$ は線分 $DE$ 上の点であるから、$\vec{OF}$ は $0 < s < 1$ を満たす実数 $s$ を用いて表される。このとき、$s$ の値を求め、$\vec{OF}$ を $\vec{OA}$ で表す。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |OA| |OB| \cos \angle AOB = 3 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 3$

したがって、$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 3$。

$\angle AOB$ の二等分線は、$\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ の単位ベクトルの和の方向に平行である。

$\vec{OC} = k (\frac{\vec{OA}}{|OA|} + \frac{\vec{OB}}{|OB|}) = k (\frac{\vec{OA}}{3} + \frac{\vec{OB}}{2})$

ここで、$C$ は辺 $AB$ 上にあるから、$\vec{OC} = (1-t) \vec{OA} + t \vec{OB}$ とおける。

$1-t = \frac{k}{3}$, $t = \frac{k}{2}$ なので、 $1 = \frac{k}{3} + \frac{k}{2} = \frac{5}{6} k$ より $k = \frac{6}{5}$

$\vec{OC} = \frac{6}{5} (\frac{\vec{OA}}{3} + \frac{\vec{OB}}{2}) = \frac{2}{5} \vec{OA} + \frac{3}{5} \vec{OB}$

(2)

$\vec{OD} = \frac{3}{4} \vec{OC} = \frac{3}{4} (\frac{2}{5} \vec{OA} + \frac{3}{5} \vec{OB}) = \frac{3}{10} \vec{OA} + \frac{9}{20} \vec{OB}$

$\vec{OG} = k \vec{OA}$ とおくと、$\vec{OA} \perp \vec{DG}$ より、$\vec{OA} \cdot (\vec{OG} - \vec{OD}) = 0$

$\vec{OA} \cdot (k \vec{OA} - (\frac{3}{10} \vec{OA} + \frac{9}{20} \vec{OB})) = 0$

$k |\vec{OA}|^2 - \frac{3}{10} |\vec{OA}|^2 - \frac{9}{20} \vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$

$9k - \frac{3}{10} \cdot 9 - \frac{9}{20} \cdot 3 = 0$

$k - \frac{3}{10} - \frac{3}{20} = 0$

$k = \frac{6}{20} + \frac{3}{20} = \frac{9}{20}$

$k = \frac{9}{20}$

$\vec{OG} = \frac{9}{20} \vec{OA}$

$G$ は $DD'$ の中点であるから、$\vec{OG} = \frac{\vec{OD} + \vec{OD'}}{2}$ より、$\vec{OD'} = 2 \vec{OG} - \vec{OD}$

$\vec{OD'} = 2 \cdot \frac{9}{20} \vec{OA} - (\frac{3}{10} \vec{OA} + \frac{9}{20} \vec{OB}) = (\frac{9}{10} - \frac{3}{10}) \vec{OA} - \frac{9}{20} \vec{OB}$

$\vec{OD'} = \frac{6}{10} \vec{OA} - \frac{9}{20} \vec{OB} = \frac{3}{5} \vec{OA} - \frac{9}{20} \vec{OB}$

(3)

$\vec{OD} = \frac{3}{4} \vec{OC} = \frac{3}{10} \vec{OA} + \frac{9}{20} \vec{OB}$

$\vec{OE} = \frac{1}{2} \vec{OB}$

$\vec{OF} = (1-s) \vec{OD'} + s \vec{OE}$

$\vec{OF} = (1-s) (\frac{3}{5} \vec{OA} - \frac{9}{20} \vec{OB}) + s (\frac{1}{2} \vec{OB}) = \frac{3}{5} (1-s) \vec{OA} + (\frac{s}{2} - \frac{9}{20} (1-s)) \vec{OB}$

$\vec{OF}$ は $\vec{OA}$ の実数倍なので、$\frac{s}{2} - \frac{9}{20} (1-s) = 0$

$\frac{s}{2} + \frac{9}{20} s = \frac{9}{20}$

$10s + 9s = 9$

$19s = 9$

$s = \frac{9}{19}$

$\vec{OF} = \frac{3}{5} (1 - \frac{9}{19}) \vec{OA} = \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{19} \vec{OA} = \frac{6}{19} \vec{OA}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 3$, $\vec{OC} = \frac{2}{5} \vec{OA} + \frac{3}{5} \vec{OB}$

(2) $k = \frac{9}{20}$, $\vec{OD'} = \frac{3}{5} \vec{OA} - \frac{9}{20} \vec{OB}$

(3) $s = \frac{9}{19}$, $\vec{OF} = \frac{6}{19} \vec{OA}$