$\triangle OAB$ があり、$OA = 3$, $OB = 5$, $\angle AOB = 120^\circ$ である。辺 $AB$ の中点を $L$ とする。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\overrightarrow{OL}$ を $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ を用いて表せ。また、内積 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ の値を求めよ。 (2) 辺 $OA$ の中点を $M$, 辺 $OB$ の中点を $N$ とし、点 $C$ を $15\overrightarrow{LC} - 5\overrightarrow{MC} - 9\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{0}$ となるようにとる。$\overrightarrow{OC}$ を $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ を用いて表せ。また、直線 $OC$ と直線 $AB$ の交点を $D$ とするとき、$\overrightarrow{OD}$ を $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ を用いて表せ。 (3) (2) のとき、点 $C$ から直線 $AB$ に引いた垂線と直線 $AB$ の交点を $H$ とする。$\overrightarrow{OH}$ を $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ を用いて表せ。また、線分 $DH$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ があり、$OA = 3$, $OB = 5$, $\angle AOB = 120^\circ$ である。辺 $AB$ の中点を $L$ とする。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\overrightarrow{OL}$ を $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ を用いて表せ。また、内積 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ の値を求めよ。

(2) 辺 $OA$ の中点を $M$, 辺 $OB$ の中点を $N$ とし、点 $C$ を $15\overrightarrow{LC} - 5\overrightarrow{MC} - 9\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{0}$ となるようにとる。$\overrightarrow{OC}$ を $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ を用いて表せ。また、直線 $OC$ と直線 $AB$ の交点を $D$ とするとき、$\overrightarrow{OD}$ を $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ を用いて表せ。

(3) (2) のとき、点 $C$ から直線 $AB$ に引いた垂線と直線 $AB$ の交点を $H$ とする。$\overrightarrow{OH}$ を $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ を用いて表せ。また、線分 $DH$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\overrightarrow{OL} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$.

$|\overrightarrow{a}| = 3$, $|\overrightarrow{b}| = 5$, $\angle AOB = 120^\circ$ なので、

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos 120^\circ = 3 \cdot 5 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{15}{2}$.

(2)

$15\overrightarrow{LC} - 5\overrightarrow{MC} - 9\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{0}$ より、

$15(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OL}) - 5(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OM}) - 9(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{ON}) = \overrightarrow{0}$

$15\overrightarrow{OC} - 15\overrightarrow{OL} - 5\overrightarrow{OC} + 5\overrightarrow{OM} - 9\overrightarrow{OC} + 9\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{OC} = 15\overrightarrow{OL} - 5\overrightarrow{OM} - 9\overrightarrow{ON} = 15 \cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) - 5 \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{a} - 9 \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}(15\overrightarrow{a} + 15\overrightarrow{b} - 5\overrightarrow{a} - 9\overrightarrow{b}) = \frac{1}{2}(10\overrightarrow{a} + 6\overrightarrow{b}) = 5\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$.

$\overrightarrow{OD} = k\overrightarrow{OC} = 5k\overrightarrow{a} + 3k\overrightarrow{b}$ (kは実数)

$\overrightarrow{OD} = s\overrightarrow{a} + (1-s)\overrightarrow{b}$ とおけるので、

$5k = s$, $3k = 1-s$ より、$5k + 3k = s + (1-s) = 1$.

$8k = 1$ より、$k = \frac{1}{8}$

$\overrightarrow{OD} = 5 \cdot \frac{1}{8}\overrightarrow{a} + 3 \cdot \frac{1}{8}\overrightarrow{b} = \frac{5}{8}\overrightarrow{a} + \frac{3}{8}\overrightarrow{b}$.

(3)

$\overrightarrow{OH} = p\overrightarrow{a} + (1-p)\overrightarrow{b}$ とおける。

$\overrightarrow{CH} \perp \overrightarrow{AB}$ より、$\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$

$\overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OC} = p\overrightarrow{a} + (1-p)\overrightarrow{b} - (5\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}) = (p-5)\overrightarrow{a} + (1-p-3)\overrightarrow{b} = (p-5)\overrightarrow{a} + (-p-2)\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = ((p-5)\overrightarrow{a} + (-p-2)\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = (p-5)(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - |\overrightarrow{a}|^2) + (-p-2)(|\overrightarrow{b}|^2 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 0$

$(p-5)(-\frac{15}{2} - 9) + (-p-2)(25 + \frac{15}{2}) = 0$

$(p-5)(-\frac{33}{2}) + (-p-2)(\frac{65}{2}) = 0$

$-33(p-5) - 65(p+2) = 0$

$-33p + 165 - 65p - 130 = 0$

$-98p + 35 = 0$

$p = \frac{35}{98} = \frac{5}{14}$

$\overrightarrow{OH} = \frac{5}{14}\overrightarrow{a} + (1-\frac{5}{14})\overrightarrow{b} = \frac{5}{14}\overrightarrow{a} + \frac{9}{14}\overrightarrow{b}$.

$\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OD} = \frac{5}{14}\overrightarrow{a} + \frac{9}{14}\overrightarrow{b} - (\frac{5}{8}\overrightarrow{a} + \frac{3}{8}\overrightarrow{b}) = (\frac{5}{14} - \frac{5}{8})\overrightarrow{a} + (\frac{9}{14} - \frac{3}{8})\overrightarrow{b} = (\frac{20 - 35}{56})\overrightarrow{a} + (\frac{36 - 21}{56})\overrightarrow{b} = -\frac{15}{56}\overrightarrow{a} + \frac{15}{56}\overrightarrow{b} = \frac{15}{56}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = \frac{15}{56}\overrightarrow{AB}$

$|\overrightarrow{DH}| = \frac{15}{56}|\overrightarrow{AB}| = \frac{15}{56} \sqrt{|\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{a}|^2 - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}} = \frac{15}{56} \sqrt{25 + 9 - 2(-\frac{15}{2})} = \frac{15}{56} \sqrt{34 + 15} = \frac{15}{56} \sqrt{49} = \frac{15}{56} \cdot 7 = \frac{15}{8}$.

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OL} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -\frac{15}{2}$

(2) $\overrightarrow{OC} = 5\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{OD} = \frac{5}{8}\overrightarrow{a} + \frac{3}{8}\overrightarrow{b}$

(3) $\overrightarrow{OH} = \frac{5}{14}\overrightarrow{a} + \frac{9}{14}\overrightarrow{b}$, $DH = \frac{15}{8}$