三角形ABCにおいて、$AB=7$, $BC=12$, $CA=13$である。 (1) $\cos B$ の値を求めよ。 (2) 三角形ABCの内接円の半径$r$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=7$, $BC=12$, $CA=13$である。

(1) $\cos B$ の値を求めよ。

(2) 三角形ABCの内接円の半径$r$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて $\cos B$ を求める。余弦定理は $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$ であり、$a=13$, $b=7$, $c=12$ を代入する。

$7^2 = 13^2 + 12^2 - 2 \cdot 13 \cdot 12 \cos B$

$49 = 169 + 144 - 312 \cos B$

$312 \cos B = 169 + 144 - 49$

$312 \cos B = 264$

$\cos B = \frac{264}{312} = \frac{22}{26} = \frac{11}{13}$

(2) ヘロンの公式を用いて三角形ABCの面積Sを求める。

$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+7+12}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{16(16-13)(16-7)(16-12)} = \sqrt{16 \cdot 3 \cdot 9 \cdot 4} = \sqrt{16 \cdot 36 \cdot 3} = 4 \cdot 6 \cdot \sqrt{3} = 24\sqrt{3}$

内接円の半径rと三角形の面積Sの関係は $S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ である。

$24\sqrt{3} = \frac{1}{2} r (13+7+12)$

$24\sqrt{3} = \frac{1}{2} r (32)$

$24\sqrt{3} = 16r$

$r = \frac{24\sqrt{3}}{16} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos B = \frac{11}{13}$

(2) $r = \frac{3\sqrt{3}}{2}$