$\triangle OAB$ において、$OA=3, OB=2, \cos{\angle AOB}=\frac{1}{12}$ である。辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $P$ とする。$\vec{OA}=\vec{a}, \vec{OB}=\vec{b}$ とする。 (1) $\vec{OP}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表し、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ。 (2) $|\vec{OP}|$ の値を求めよ。また、$\vec{OQ}=k\vec{a}$ ($k$ は $0$ でない実数) となる点 $Q$ が $\vec{OQ} \perp \vec{PQ}$ を満たすとき、$k$ の値を求めよ。 (3) (2)のとき、直線 $AB$ 上に点 $P$ と異なる点 $R$ を、$OR=OP$ となるようにとる。$\vec{OR}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表せ。また、$\triangle OAB$ の面積を $S$ とするとき、$\triangle OQR$ の面積を $S$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$OA=3, OB=2, \cos{\angle AOB}=\frac{1}{12}$ である。辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $P$ とする。$\vec{OA}=\vec{a}, \vec{OB}=\vec{b}$ とする。

(1) $\vec{OP}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表し、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ。

(2) $|\vec{OP}|$ の値を求めよ。また、$\vec{OQ}=k\vec{a}$ ($k$ は $0$ でない実数) となる点 $Q$ が $\vec{OQ} \perp \vec{PQ}$ を満たすとき、$k$ の値を求めよ。

(3) (2)のとき、直線 $AB$ 上に点 $P$ と異なる点 $R$ を、$OR=OP$ となるようにとる。$\vec{OR}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表せ。また、$\triangle OAB$ の面積を $S$ とするとき、$\triangle OQR$ の面積を $S$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P$ は辺 $AB$ を $2:1$ に内分するので、内分点の公式より

$\vec{OP} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OB} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$

また、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ について、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\angle AOB} = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$

(2) $|\vec{OP}|$ の値を求める。

$|\vec{OP}|^2 = |\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}|^2 = \frac{1}{9} |\vec{a}|^2 + \frac{4}{9} |\vec{b}|^2 + \frac{4}{9} \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{9} \cdot 9 + \frac{4}{9} \cdot 4 + \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{16}{9} + \frac{2}{9} = 1 + \frac{18}{9} = 1 + 2 = 3$

よって、 $|\vec{OP}| = \sqrt{3}$

次に、$k$ の値を求める。$\vec{OQ} \perp \vec{PQ}$ より $\vec{OQ} \cdot \vec{PQ} = 0$。

$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = k \vec{a} - (\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}) = (k - \frac{1}{3}) \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$

$\vec{OQ} \cdot \vec{PQ} = k \vec{a} \cdot ((k - \frac{1}{3}) \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}) = k(k - \frac{1}{3}) |\vec{a}|^2 - \frac{2}{3} k (\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$

$k(k - \frac{1}{3}) \cdot 9 - \frac{2}{3} k \cdot \frac{1}{2} = 0$

$9k(k - \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} k = 0$

$9k^2 - 3k - \frac{1}{3} k = 0$

$9k^2 - \frac{10}{3} k = 0$

$k(9k - \frac{10}{3}) = 0$

$k \neq 0$ より $9k = \frac{10}{3}$

$k = \frac{10}{27}$

(3) 点 $R$ は直線 $AB$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて $\vec{OR} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$ と表せる。また、 $|\vec{OR}| = |\vec{OP}| = \sqrt{3}$ である。

$|\vec{OR}|^2 = |(1-t)\vec{a} + t\vec{b}|^2 = (1-t)^2 |\vec{a}|^2 + t^2 |\vec{b}|^2 + 2t(1-t) \vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

$(1-t)^2 \cdot 9 + t^2 \cdot 4 + 2t(1-t) \cdot \frac{1}{2} = 3$

$9(1 - 2t + t^2) + 4t^2 + t - t^2 = 3$

$9 - 18t + 9t^2 + 4t^2 + t - t^2 = 3$

$12t^2 - 17t + 6 = 0$

$(3t-2)(4t-3)=0$

$t = \frac{2}{3}, \frac{3}{4}$

$t = \frac{2}{3}$ のとき $\vec{OR} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} = \vec{OP}$ となるので、$t = \frac{3}{4}$

$\vec{OR} = (1 - \frac{3}{4}) \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}$

次に、$\triangle OAB$ の面積を $S$ とするとき、$\triangle OQR$ の面積を $S$ を用いて表す。

$S = \frac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\angle AOB} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sqrt{1 - \cos^2{\angle AOB}} = 3 \sqrt{1 - (\frac{1}{12})^2} = 3 \sqrt{\frac{143}{144}} = \frac{\sqrt{143}}{4}$

$\triangle OQR = \frac{1}{2} |\vec{OQ} \times \vec{OR}| = \frac{1}{2} | \frac{10}{27} \vec{a} \times (\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}) | = \frac{1}{2} | \frac{10}{27} \vec{a} \times \frac{3}{4} \vec{b} | = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{27} \cdot \frac{3}{4} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{5}{36} \cdot 2S = \frac{5}{18}S$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OP} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$

(2) $|\vec{OP}| = \sqrt{3}$, $k = \frac{10}{27}$

(3) $\vec{OR} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$, $\triangle OQR = \frac{5}{18}S$