正四面体の一つの面を下にして置き、一つの辺を軸として3回回転させる。2回目以降は、直前にあった場所を通らないようにするとき、以下の数を求める。 (1) 転がし方の総数 (2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数

1. 問題の内容

正四面体の一つの面を下にして置き、一つの辺を軸として3回回転させる。2回目以降は、直前にあった場所を通らないようにするとき、以下の数を求める。

(1) 転がし方の総数

(2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数

2. 解き方の手順

(1) 転がし方の総数

最初の回転では、底面の3つの辺のいずれかを軸として回転できるので、3通りの選択肢がある。

2回目の回転では、直前にあった場所を通らないようにする必要があるため、直前に回転させた軸以外の2つの辺を軸として回転できる。したがって、2通りの選択肢がある。

3回目の回転でも同様に、直前に回転させた軸以外の2つの辺を軸として回転できる。したがって、2通りの選択肢がある。

したがって、転がし方の総数は、$3 \times 2 \times 2 = 12$となる。

(2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数

最初の回転では、底面以外の3つの面が下になる可能性がある。

2回目の回転では、1回目に下になった面以外の2つの面が下になる可能性がある。

3回目の回転では、2回目に下になった面以外の2つの面が下になる可能性がある。

しかし、回転の経路によって、最終的な位置が同じになる場合がある。

最初の回転で3つの選択肢があり、2回目と3回目の回転でそれぞれ2つの選択肢がある。

3回回転させた後、最初に底面にしていた面が側面になる。残りの3つの面が底面になる可能性がある。

1回目の回転でどの側面が下になったかによって、その後の回転の選択肢が制限される。

考えられるパターンをすべて書き出す。

1回目：A, 2回目：B or C, 3回目：C or B

A-B-C, A-B-A (これは不可）, A-C-B, A-C-A (これは不可)

最初の回転で3つの辺のどれを軸にしても、結局のところ3回目の回転後には、最初の底面だった面が側面に来る。そして、底面に来るのは、もともと側面だった3つの面のうちのどれか。

最初の面を下にして、1回目にA、2回目にB、3回目にCという順で回転したとする。

別の回転のさせ方で、同じ位置になることはあるか？

もし同じ位置に来るなら、最終的な位置の総数は12より小さくなる。

各回転で位置が異なるので最終的な位置はすべて異なると考える。

したがって、3回転がした後の正四面体の位置の総数は12となる。

3. 最終的な答え

(1) 転がし方の総数: 12

(2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数: 12