円Oと円O'が点Aで内接している。点Cは円Oの周上にあり、線分OCは点Bで円O'に接している。直線ABと円Oの交点をDとする。$\angle AOC = 30^\circ$、円O'の半径が2cmであるとき、以下の値を求める。 (1) $\angle ABO$ (2) $\angle OCD$ (3) $\triangle BCD$ の面積

1. 問題の内容

円Oと円O'が点Aで内接している。点Cは円Oの周上にあり、線分OCは点Bで円O'に接している。直線ABと円Oの交点をDとする。$\angle AOC = 30^\circ$、円O'の半径が2cmであるとき、以下の値を求める。

(1) $\angle ABO$

(2) $\angle OCD$

(3) $\triangle BCD$ の面積

2. 解き方の手順

(1) $\angle ABO$ について

O'B は円 O' の半径であり、OC に接しているので、$\angle O'BO = 90^\circ$ である。

三角形AOO' は二等辺三角形なので、$\angle OAO' = \angle AO'O$ である。

$\angle AO'O + \angle O'OA + \angle AO'A = 180^\circ$ より、

$\angle O'OA = \frac{180^\circ - \angle AO'O}{2}$

また、$\angle AO'O = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$

$\angle O'OA = \frac{180^\circ - 150^\circ}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$

$\angle ABO = 90^\circ - \angle AO'O = 90^\circ - \angle OA'B$

$\angle OA'B = 90^\circ - \angle AO'A$

$\angle AO'A$は錯角なので、$\angle AO'A = \angle AOO' = 15^\circ$

三角形AO'Bにおいて、$\angle O'AB = \angle O'BA$であるので、$\angle ABO = 90^\circ$ となることはない。

円 O' の中心 O' から線分 AB に垂線 O'E を引くと、$\angle O'EA = 90^\circ$。

また、O'A = O'B であり、線分 O'B は OC に接するので $\angle O'BO=90^\circ$。

$\angle AO'B = 180^\circ - 2\angle O'AB$

$\angle AOC = 30^\circ$ なので、$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = 15^\circ$

$\angle ABO = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$

(2) $\angle OCD$ について

$\angle AOC = 30^\circ$ なので、円周角の定理より $\angle ADC = \frac{1}{2}\angle AOC = 15^\circ$

$\angle BAC = \angle BDC$

$\angle OCD = \angle ODA = \angle OAC$

$\angle OAC = \frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ$

したがって、$\angle OCD = 75^\circ - 15^\circ = 60^\circ$ではない。

$\angle AOC = 30^\circ$ なので、$\angle ABC = 15^\circ$。また、$\angle OAC = 75^\circ$

$\angle OAD = \angle OAC = 75^\circ$

四角形ABCDは円に内接しているので、$\angle BCD + \angle BAD = 180^\circ$

$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - (75^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

$\angle OCD = \angle BCD - \angle OCB$

$\angle OCB = \angle OBC = 15^\circ$

$\angle OCD = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$ではない。

$\angle OAC = 75^\circ$

$\angle ADC = 15^\circ$

$\angle DOC = 2 \angle DAC = 2 \angle BAC = 2\times 15^\circ = 30^\circ$

$\angle AOC = 30^\circ$

OとCは円の中心なので、三角形AOCは二等辺三角形である

$\angle OAC = \angle OCA = (180-30)/2 = 75^\circ$

$\angle OAD = 75^\circ$より、$\angle CAD = \angle OAD - \angle OAC$

$\angle CDA = \angle DBA = 15^\circ$

$\angle ABC=15^\circ$である。$\angle BAC =15^\circ$

$\angle CDA=15^\circ$ $\angle CA=75^\circ$より $\angle DAC=15$

したがって$\angle OCD =15$

(3) $\triangle BCD$ の面積

円O'の半径が2cmであるので円Oの半径は4cmである

$\angle AOC = 30^\circ$なので、OC=4cm

$\triangle AOC$の面積を計算する　$\frac{1}{2} \times 4\times 4\times \sin30^\circ=4$

3. 最終的な答え

(1) $\angle ABO = 75^\circ$

(2) $\angle OCD = 15^\circ$

(3) $\triangle BCD$ の面積 = 計算できません