点 $(2, -5, -3)$ と点 $(0, -1, z)$ の間の距離が $6$ であるとき、$z$ の値を求めます。

## 問題55

1. 問題の内容

点 $(2, -5, -3)$ と点 $(0, -1, z)$ の間の距離が $6$ であるとき、$z$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

2点間の距離の公式を使います。2点 $A(x_1, y_1, z_1)$ と $B(x_2, y_2, z_2)$ 間の距離 $d$ は、

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

で与えられます。

この問題では、$A(2, -5, -3)$, $B(0, -1, z)$ であり、$d = 6$ なので、

$$6 = \sqrt{(0 - 2)^2 + (-1 - (-5))^2 + (z - (-3))^2}$$

$$6 = \sqrt{(-2)^2 + (4)^2 + (z + 3)^2}$$

$$6 = \sqrt{4 + 16 + (z + 3)^2}$$

$$6 = \sqrt{20 + (z + 3)^2}$$

両辺を2乗して、

$$36 = 20 + (z + 3)^2$$

$$(z + 3)^2 = 16$$

$$z + 3 = \pm 4$$

したがって、$z + 3 = 4$ または $z + 3 = -4$ となります。

* $z + 3 = 4$ の場合、$z = 4 - 3 = 1$

* $z + 3 = -4$ の場合、$z = -4 - 3 = -7$

3. 最終的な答え

$z = 1$ または $z = -7$

## 問題56 (1)

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (-1, 4, 1)$ と $\vec{b} = (1, -3, 0)$ が与えられたとき、ベクトル $\vec{a} - \vec{b}$ の成分表示と大きさを求めます。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a} - \vec{b}$ の成分表示を求めます。

$$\vec{a} - \vec{b} = (-1, 4, 1) - (1, -3, 0) = (-1 - 1, 4 - (-3), 1 - 0) = (-2, 7, 1)$$

次に、ベクトルの大きさ $|\vec{a} - \vec{b}|$ を求めます。

$$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 7^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 49 + 1} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$$

3. 最終的な答え

成分表示：$\vec{a} - \vec{b} = (-2, 7, 1)$

大きさ：$|\vec{a} - \vec{b}| = 3\sqrt{6}$

## 問題56 (2)

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (-1, 4, 1)$ と $\vec{b} = (1, -3, 0)$ が与えられたとき、ベクトル $2\vec{a} + 3\vec{b}$ の成分表示と大きさを求めます。

2. 解き方の手順

ベクトル $2\vec{a} + 3\vec{b}$ の成分表示を求めます。

$$2\vec{a} = 2(-1, 4, 1) = (-2, 8, 2)$$

$$3\vec{b} = 3(1, -3, 0) = (3, -9, 0)$$

$$2\vec{a} + 3\vec{b} = (-2, 8, 2) + (3, -9, 0) = (-2 + 3, 8 - 9, 2 + 0) = (1, -1, 2)$$

次に、ベクトルの大きさ $|2\vec{a} + 3\vec{b}|$ を求めます。

$$|2\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$$

3. 最終的な答え

成分表示：$2\vec{a} + 3\vec{b} = (1, -1, 2)$

大きさ：$|2\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{6}$