点 $A(2, -4)$ を通り、法線ベクトル $\vec{n} = (2, -1)$ である直線の式を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $A(2, -4)$ を通り、法線ベクトル $\vec{n} = (2, -1)$ である直線の式を求める問題です。

2. 解き方の手順

直線の式は、直線上にある任意の点 $P(x, y)$ に対して、ベクトル $\vec{AP}$ が法線ベクトル $\vec{n}$ と垂直であるという条件から導かれます。

$\vec{AP} = (x - 2, y - (-4)) = (x - 2, y + 4)$

$\vec{AP}$ と $\vec{n}$ が垂直である条件は、内積が0になることです。

$\vec{n} \cdot \vec{AP} = 0$

$(2, -1) \cdot (x - 2, y + 4) = 0$

$2(x - 2) - 1(y + 4) = 0$

$2x - 4 - y - 4 = 0$

$2x - y - 8 = 0$

3. 最終的な答え

$2x - y - 8 = 0$