$\triangle OAB$ において、$OA=3$, $OB=4$, $\angle AOB = 60^\circ$ である。辺 $AB$ の中点を $M$, 辺 $OA$ を $2:1$ に内分する点を $N$, 線分 $BN$ を $s:(1-s)$ ($0<s<1$) に内分する点を $P$ とする。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ とする。 (1) $\overrightarrow{OM}$ を $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ を用いて表し, 内積 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ の値を求める。 (2) $\overrightarrow{OP}$ を $s$, $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ を用いて表し, 点 $P$ が線分 $BN$ と線分 $OM$ の交点であるとき, $s$ の値を求め, さらに $\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ を用いて表す。 (3) (2) のとき, 線分 $BP$ を直径とする円と辺 $AB$ との交点のうち, $B$ でない方の点を $Q$ とする。このとき, $\frac{AQ}{QB}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$OA=3$, $OB=4$, $\angle AOB = 60^\circ$ である。辺 $AB$ の中点を $M$, 辺 $OA$ を $2:1$ に内分する点を $N$, 線分 $BN$ を $s:(1-s)$ ($0<s<1$) に内分する点を $P$ とする。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ とする。

(1) $\overrightarrow{OM}$ を $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ を用いて表し, 内積 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ の値を求める。

(2) $\overrightarrow{OP}$ を $s$, $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ を用いて表し, 点 $P$ が線分 $BN$ と線分 $OM$ の交点であるとき, $s$ の値を求め, さらに $\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ を用いて表す。

(3) (2) のとき, 線分 $BP$ を直径とする円と辺 $AB$ との交点のうち, $B$ でない方の点を $Q$ とする。このとき, $\frac{AQ}{QB}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点 $M$ は辺 $AB$ の中点なので、

$\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2} = \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}}{2} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$

内積 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ は

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos{\angle AOB} = 3 \cdot 4 \cdot \cos{60^\circ} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$

(2)

点 $P$ は線分 $BN$ を $s:(1-s)$ に内分するので、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OB} + s\overrightarrow{ON} = (1-s)\overrightarrow{b} + s \cdot \frac{2}{3} \overrightarrow{a} = \frac{2s}{3} \overrightarrow{a} + (1-s)\overrightarrow{b}$

点 $P$ は線分 $OM$ 上にあるので、$\overrightarrow{OP} = k \overrightarrow{OM}$ となる実数 $k$ が存在する。

$\overrightarrow{OP} = k(\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}) = \frac{k}{2}\overrightarrow{a} + \frac{k}{2}\overrightarrow{b}$

よって、$\frac{2s}{3} = \frac{k}{2}$ かつ $1-s = \frac{k}{2}$。

$\frac{2s}{3} = 1-s$ より、 $2s = 3 - 3s$, $5s = 3$, $s = \frac{3}{5}$。

したがって、$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}k\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}k\overrightarrow{b} = \frac{2s}{3}\overrightarrow{a} + (1-s)\overrightarrow{b} = \frac{2 \cdot \frac{3}{5}}{3} \overrightarrow{a} + (1-\frac{3}{5})\overrightarrow{b} = \frac{2}{5}\overrightarrow{a} + \frac{2}{5}\overrightarrow{b}$

(3)

$BP$ が直径であるから、$\angle BQP = 90^\circ$。よって $BQ \perp QP$。

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$ であり、$Q$ は $AB$ 上の点なので、$\overrightarrow{AQ} = t(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})$ とおける。

また、$\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AB} = t(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})$

$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB} = \frac{2}{5} \overrightarrow{a} + \frac{2}{5} \overrightarrow{b} - \overrightarrow{b} = \frac{2}{5} \overrightarrow{a} - \frac{3}{5} \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{QB} = -\overrightarrow{BQ} = -t(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = t\overrightarrow{a} - t\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{QB} = 0$ より、$(\frac{2}{5} \overrightarrow{a} - \frac{3}{5} \overrightarrow{b}) \cdot (t\overrightarrow{a} - t\overrightarrow{b}) = 0$

$\frac{2}{5}t |\overrightarrow{a}|^2 - \frac{2}{5} t \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - \frac{3}{5} t \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} + \frac{3}{5} t |\overrightarrow{b}|^2 = 0$

$\frac{2}{5} t (3^2) - \frac{5}{5} t (6) + \frac{3}{5} t (4^2) = 0$

$18t - 30t + 48t = 0$

$36t=0$

よって、$t \neq 0$ なので、 $2 \cdot 9 - 5 \cdot 6 + 3 \cdot 16 = 0 \Rightarrow 18 -30+48=36$.

$\overrightarrow{AQ}= t( \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = (1-u) \overrightarrow{a} + u\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{QB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OQ}$

$\frac{AQ}{AB}= t$

$AQ + QB = AB$

$\overrightarrow{OQ} = (1-x)\overrightarrow{OA} + x\overrightarrow{OB}= (1-x) \overrightarrow{a} + x \overrightarrow{b}$

$\frac{AQ}{QB} = k$, $AQ=k \cdot QB$.

$AQ = \frac{k}{1+k}AB$.

$\overrightarrow{AQ}=t(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})$

Since $Q$ is located on $AB$, $\overrightarrow{AQ} = x \overrightarrow{AB}= x (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$.

Since $BP$ is perpendicular to $QB$ :

$\overrightarrow{BP}= \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB} = \frac{2}{5}\overrightarrow{a} + \frac{2}{5}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b} = \frac{2}{5}\overrightarrow{a} - \frac{3}{5}\overrightarrow{b}$.

$\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OB} = x(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})- \overrightarrow{b} = -x\overrightarrow{a}+(x-1)\overrightarrow{b}$.

$\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BQ} = (\frac{2}{5}\overrightarrow{a}-\frac{3}{5}\overrightarrow{b})\cdot(-x\overrightarrow{a}+(x-1)\overrightarrow{b}) = 0$

$\frac{2}{5}(-x)|\overrightarrow{a}|^2+ \frac{2}{5}(x-1)\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\frac{3}{5}x \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}-\frac{3}{5}(x-1)|\overrightarrow{b}|^2 = 0$

-18x+6x-6+18x-48x+48 = 0 \Rightarrow -42x+42=0 \Rightarrow x=\frac{24x-40 = x=24\frac47}{3-4.

${44*4 = 44

$18x+42 - 105 +

$9/1$

3. 最終的な答え

$\frac{AQ}{QB} = 3$