一辺の長さが2の正四面体ABCDがあり、辺BCの中点をMとする。 (1) $\cos \angle AMD$の値を求める。 (2) 直線BCに関して点Dと対称な点をEとする。線分AEの長さを求める。 (3) Eは(2)で定めた点とし、辺BDの中点をNとする。$\triangle AEN$の面積を求める。また、点Bから平面AENに垂線を引き、平面AENとの交点をHとする。線分BHの長さを求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正四面体ABCDがあり、辺BCの中点をMとする。

(1) $\cos \angle AMD$の値を求める。

(2) 直線BCに関して点Dと対称な点をEとする。線分AEの長さを求める。

(3) Eは(2)で定めた点とし、辺BDの中点をNとする。$\triangle AEN$の面積を求める。また、点Bから平面AENに垂線を引き、平面AENとの交点をHとする。線分BHの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \angle AMD$を求める。

正四面体の各辺の長さは2である。

$AM = DM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$

$\triangle AMD$において余弦定理を用いると、

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos \angle AMD$

$2^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos \angle AMD$

$4 = 3 + 3 - 6 \cos \angle AMD$

$6 \cos \angle AMD = 2$

$\cos \angle AMD = \frac{1}{3}$

(2) AEの長さを求める。

点Eは直線BCに関して点Dと対称なので、$\triangle BCD$と$\triangle BCE$は合同である。よって、$BE = BD = 2$、$CE = CD = 2$である。

$\triangle BCE$は正三角形となる。

点MはBCの中点であるから、$EM \perp BC$である。また、$DM \perp BC$でもある。

したがって、E, D, Mは同一直線上にあり、$EM = DM = \sqrt{3}$となる。

$DE = DM + ME = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$となる。

$\triangle ADE$において余弦定理を用いると、

$DE^2 = AD^2 + AE^2 - 2 \cdot AD \cdot AE \cdot \cos \angle DAE$

しかし$\angle DAE$が不明であるため、別の方法を用いる。

点AからBCへ垂線AHを下ろすと、HはBCの中点Mと一致する。したがって、AMはBCと直交する。

$AM = \sqrt{3}$である。

$\triangle AME$において、$AE = \sqrt{AM^2 + ME^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3+3} = \sqrt{6}$

(3) $\triangle AEN$の面積とBHの長さを求める。

点NはBDの中点なので、$BN = ND = 1$である。

また、点Eは直線BCに関して点Dと対称なので、$BN = NE = 1$である。

$\triangle AEN$において、$AN = \sqrt{AB^2 - BN^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$

$EN = 1$、$AE = \sqrt{6}$なので、ヘロンの公式を用いる。

$s = \frac{\sqrt{3} + 1 + \sqrt{6}}{2}$

$\triangle AEN = \sqrt{s(s-\sqrt{3})(s-1)(s-\sqrt{6})}$

計算が大変なので、別の方法を試す。

$\triangle ABD$において、NはBDの中点なので、$\triangle ABN = \frac{1}{2} \triangle ABD = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\triangle ABN = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot BN \cdot \sin \angle ANB = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \sin \angle ANB$

$\sin \angle ANB = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$

$\angle ANB = 90^\circ$

$\angle ANE = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

$\triangle AEN = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot NE = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\triangle AEN$を底面としたときのBHの長さをhとすると、

正四面体ABCDの体積は$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^2 \cdot 2 = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

四面体ABENの体積は$V' = \frac{1}{2} V = \frac{\sqrt{2}}{3}$

$V' = \frac{1}{3} \cdot \triangle AEN \cdot BH$

$\frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot BH$

$BH = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \angle AMD = \frac{1}{3}$

(2) $AE = \sqrt{6}$

(3) $\triangle AEN = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $BH = \frac{2\sqrt{6}}{3}$