楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ の外部の点 $P(X, Y)$ から楕円に2本の接線を引く。それらの直線が直交するような点 $P$ の軌跡を求めるとき、点 $P(X,Y)$ を通る接線の傾きを $m$ とおくと、接線の方程式は $y - Y = m(x - X)$ となる。この接線の方程式を楕円の方程式に代入して $x$ の2次方程式に整理すると、 $(9m^2 + 16)x^2 - 18m(mX-Y)x + 9(mX-Y)^2 - 144 = 0$ となる。ここで、「接線の方程式 $y - Y = m(x - X)$ が楕円の接線であること」と「$x$ の2次方程式 $(9m^2 + 16)x^2 - 18m(mX-Y)x + 9(mX-Y)^2 - 144 = 0$ が重解をもつこと」がなぜ同値であるのかを問うている。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ の外部の点 $P(X, Y)$ から楕円に2本の接線を引く。それらの直線が直交するような点 $P$ の軌跡を求めるとき、点 $P(X,Y)$ を通る接線の傾きを $m$ とおくと、接線の方程式は $y - Y = m(x - X)$ となる。この接線の方程式を楕円の方程式に代入して $x$ の2次方程式に整理すると、 $(9m^2 + 16)x^2 - 18m(mX-Y)x + 9(mX-Y)^2 - 144 = 0$ となる。ここで、「接線の方程式 $y - Y = m(x - X)$ が楕円の接線であること」と「$x$ の2次方程式 $(9m^2 + 16)x^2 - 18m(mX-Y)x + 9(mX-Y)^2 - 144 = 0$ が重解をもつこと」がなぜ同値であるのかを問うている。

2. 解き方の手順

接線 $y - Y = m(x - X)$ を楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ の式に代入すると、$x$ に関する2次方程式が得られる。

この2次方程式が重解を持つということは、接線と楕円が1点で接することを意味する。

つまり、$y - Y = m(x - X)$ が楕円の接線であることと、それらを連立した $x$ の2次方程式が重解を持つことは同値である。

3. 最終的な答え

接線 $y - Y = m(x - X)$ が楕円の接線であることと、$y - Y = m(x - X)$を楕円の式に代入して得られる $x$ の2次方程式が重解を持つことは同値である。なぜなら、2次方程式が重解を持つことは、接線と楕円が1点で接することを意味するからである。