極方程式 $r^2(7\cos^2\theta+9) = 144$ で表される曲線 C を直交座標の方程式で表し、その楕円の長軸と短軸の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

極方程式 $r^2(7\cos^2\theta+9) = 144$ で表される曲線 C を直交座標の方程式で表し、その楕円の長軸と短軸の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 直交座標と極座標の変換公式は以下の通りです。

$x = r\cos\theta$

$y = r\sin\theta$

$x^2 + y^2 = r^2$

したがって、空欄1は $r\cos\theta$、空欄2は $r^2$ です。

(2) 与えられた極方程式を変形します。

$r^2(7\cos^2\theta + 9) = 144$

$7r^2\cos^2\theta + 9r^2 = 144$

$7(r\cos\theta)^2 + 9r^2 = 144$

$7x^2 + 9(x^2 + y^2) = 144$

$7x^2 + 9x^2 + 9y^2 = 144$

$16x^2 + 9y^2 = 144$

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$

したがって、空欄3は9、空欄4と5は16です。

(3) 直交座標で表された方程式は楕円を表しており、その一般形は $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ です。

この場合、$a^2 = 9$ なので、$a = 3$

$b^2 = 16$ なので、$b = 4$

$b > a$ より、長軸は y 軸方向にあり、その長さは $2b = 2 \times 4 = 8$

短軸は x 軸方向にあり、その長さは $2a = 2 \times 3 = 6$

したがって、空欄6は8、空欄7は6です。

3. 最終的な答え

(1) 1: $r\cos\theta$, 2: $r^2$

(2) 3: 9, 4と5: 16

(3) 6: 8, 7: 6