楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ の外部の点 $P$ から楕円に2本の接線を引きます。その2本の直線が直交するような点 $P$ の軌跡を求めます。また、直線 $y - Y = m(x - X)$ が楕円の接線であることと、$x$ の2次方程式 $(9m^2+16)x^2-18m(mX-Y)x+9(mX-Y)^2-144=0$ が重解を持つことが同値である理由を説明します。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ の外部の点 $P$ から楕円に2本の接線を引きます。その2本の直線が直交するような点 $P$ の軌跡を求めます。また、直線 $y - Y = m(x - X)$ が楕円の接線であることと、$x$ の2次方程式 $(9m^2+16)x^2-18m(mX-Y)x+9(mX-Y)^2-144=0$ が重解を持つことが同値である理由を説明します。

2. 解き方の手順

まず、点 $P(X, Y)$ を通る傾き $m$ の直線の方程式を考えます。それは、$y - Y = m(x - X)$ で表されます。これを楕円の方程式 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ に代入し、$x$ についての2次方程式を得ます。

この2次方程式が重解を持つとき、直線 $y - Y = m(x - X)$ は楕円と接します。なぜなら、重解を持つとは、その直線と楕円が一点でのみ交わることを意味するからです。したがって、接線の方程式を楕円の方程式に代入して得られる $x$ の2次方程式が重解を持つことは、その直線が楕円の接線であるための必要十分条件となります。

言い換えれば、直線が楕円に接するための条件は、連立方程式

$$$$

\begin{cases}

\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1 \\

y - Y = m(x - X)

\end{cases}

$$$$

の解がただ一つ存在することです。これは $x$ についての二次方程式を解いたとき、判別式 $D = 0$ となることと同値です。

画像内の式では、$y = m(x-X) + Y$ を楕円の方程式に代入し、整理することで、$x$ の二次方程式 $(9m^2+16)x^2-18m(mX-Y)x+9(mX-Y)^2-144=0$ が得られています。直線が接線であることと、この2次方程式が重解を持つことが同値であることは上記で説明した通りです。

3. 最終的な答え

質問に対する答え：直線 $y - Y = m(x - X)$ が楕円の接線であることと、$x$ の2次方程式 $(9m^2+16)x^2-18m(mX-Y)x+9(mX-Y)^2-144=0$ が重解を持つことは同値である。なぜなら、2次方程式が重解を持つ条件は、直線と楕円が一点のみで交わる条件、すなわち直線が接線である条件と同値だからです。