直線 $y=7x+1$ について、以下の問いに答える。 (1) 法線ベクトルを1つ求める。 (2) 点 $(-1, 4)$ との距離を求める。

1. 問題の内容

直線 $y=7x+1$ について、以下の問いに答える。

(1) 法線ベクトルを1つ求める。

(2) 点 $(-1, 4)$ との距離を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線の法線ベクトルを求める。

直線の式を $ax + by + c = 0$ の形に変形する。このとき、ベクトル $(a, b)$ が法線ベクトルとなる。

与えられた直線 $y = 7x + 1$ を変形すると $7x - y + 1 = 0$ となる。

したがって、法線ベクトルは $(7, -1)$ である。

(2) 点と直線の距離を求める。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、以下の公式で求められる。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

点 $(-1, 4)$ と直線 $7x - y + 1 = 0$ の距離 $d$ を求める。

$x_0 = -1$, $y_0 = 4$, $a = 7$, $b = -1$, $c = 1$ を公式に代入する。

$d = \frac{|7(-1) + (-1)(4) + 1|}{\sqrt{7^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|-7 - 4 + 1|}{\sqrt{49 + 1}}$

$d = \frac{|-10|}{\sqrt{50}}$

$d = \frac{10}{\sqrt{50}}$

$d = \frac{10}{5\sqrt{2}}$

$d = \frac{2}{\sqrt{2}}$

$d = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 法線ベクトル: $(7, -1)$

(2) 点 $(-1, 4)$ との距離: $\sqrt{2}$