直角二等辺三角形 $ABC$ があり、$AC = BC = 4$ cm です。この三角形を点 $C$ を中心に時計回りに $45^\circ$ 回転させたものが三角形 $A'B'C$ です。影をつけた部分の面積を求めなさい。

1. 問題の内容

直角二等辺三角形 $ABC$ があり、$AC = BC = 4$ cm です。この三角形を点 $C$ を中心に時計回りに $45^\circ$ 回転させたものが三角形 $A'B'C$ です。影をつけた部分の面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

影をつけた部分は、扇形 $ACA'$ と三角形 $ABC$ の重なった部分です。

扇形 $ACA'$ の面積は、半径 $4$ cm、中心角 $45^\circ$ なので、

$扇形 ACA' の面積 = \pi \times 4^2 \times \frac{45}{360} = \pi \times 16 \times \frac{1}{8} = 2\pi$

三角形 $ABC$ は直角二等辺三角形なので、面積は、

$三角形 ABC の面積 = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$

扇形 $ACA'$ と三角形 $ABC$ が重なった部分は、中心角 $45^\circ$ の扇形なので、その面積は扇形 $ACA'$ の面積と同じ $2\pi$ です。

影をつけた部分の面積は、扇形 $ACA'$ の面積から、三角形 $ABC$ と扇形 $ACA'$ の重なった部分を除いたものです。三角形 $CAC'$ も直角二等辺三角形で $AC=4$ ですから，その面積は $\frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ となり，扇形 $ACA'$ の面積は $2\pi$ です．このとき，

$影をつけた部分の面積 = (扇形 ACA' の面積) - (三角形 ABCの面積) + (扇形 ABCと三角形ACA'の共通部分の面積)$

$三角形 ABCと扇形 ACA' の共通部分 = 三角形 ABC - 扇形 BCA'$

求める影の部分は、

扇形$ACA'$と三角形$ABC$の重なりであり，扇形$A'CB'$と三角形$A'B'C$の重なりでもあります。

扇形$ACA'$の面積は$2\pi$なので、三角形$ABC$との重なりは、三角形$ABC$の面積から、

三角形$ABC$の面積から扇形$BCB'$の面積を引いた面積となります。

扇形$BCB'$の面積は$2\pi$です。

$影をつけた面積 = 扇形ACA'の面積 - (三角形ABCの面積 - 扇形BCB'の面積) = 2\pi - (8 - 2\pi) = 4\pi - 8$

求める面積は，$4\pi-8$ です。

3. 最終的な答え

$4\pi - 8$ (cm²)