三角形ABCにおいて、辺AB上にAP:PB=1:2となる点P、辺AC上にAQ:QC=2:1となる点Qをとる。線分BQと線分CPの交点をO、直線PQと直線BCの交点をR、直線AOと辺BCの交点をSとする。以下の比を求めよ。 (1) BC:CR (2) BS:SC (3) AO:OS (4) △ABC:△OBS

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺AB上にAP:PB=1:2となる点P、辺AC上にAQ:QC=2:1となる点Qをとる。線分BQと線分CPの交点をO、直線PQと直線BCの交点をR、直線AOと辺BCの交点をSとする。以下の比を求めよ。

(1) BC:CR

(2) BS:SC

(3) AO:OS

(4) △ABC:△OBS

2. 解き方の手順

(1) BC:CR

三角形ABCに直線PRが交わっているので、メネラウスの定理より、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{BR}{RC} = 4$

$BR = 4RC$

$BC + CR = 4CR$

$BC = 3CR$

$BC:CR = 3:1$

(2) BS:SC

三角形ABCにおいて、線分AO、BQ、CPは一点Oで交わるので、チェバの定理より、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{BS}{SC} = 4$

$BS:SC = 4:1$

(3) AO:OS

三角形ABSに直線CPが交わっているので、メネラウスの定理より、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BC}{CS} \cdot \frac{SO}{OA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{1} \cdot \frac{SO}{OA} = 1$

$\frac{SO}{OA} = \frac{2}{5}$

$5SO = 2OA$

$AO:OS = 5:2$

(4) △ABC:△OBS

$\triangle ABC = \triangle OBS + \triangle OSA + \triangle OSC$

$\triangle OBS = \triangle ABC \cdot \frac{BS}{BC} \cdot \frac{BO}{BQ}$

$\frac{BS}{BC} = \frac{4}{5}$

$\triangle ABQ$においてチェバの定理を使うと、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{AO}{OS}$の比は(3)より$5:2$

$\frac{BO}{OQ}$は求める比なので、$x$とする。

メネラウスの定理より、三角形CBQに直線ASが交わっているので、

$\frac{CS}{SB} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{QA}{AC} = 1$

$\frac{1}{4} \cdot x \cdot \frac{2}{3} = 1$

$x = 6$

$\frac{BO}{BQ} = \frac{6}{7}$

$\triangle OBS = \triangle ABC \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7}$

$\triangle OBS = \frac{24}{35} \triangle ABC$

$\triangle ABC : \triangle OBS = 35:24$

3. 最終的な答え

(1) BC:CR = 3:1

(2) BS:SC = 4:1

(3) AO:OS = 5:2

(4) △ABC:△OBS = 35:24