三角形ABCにおいて、$a=7$, $b=5$, $c=4$であるとき、内接円の半径$r$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=7$, $b=5$, $c=4$であるとき、内接円の半径$r$を求める。

2. 解き方の手順

まず、ヘロンの公式を用いて三角形の面積$S$を計算する。

ヘロンの公式は、

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

ここで、$s$は半周長であり、$s = \frac{a+b+c}{2}$で計算される。

次に、$s$の値を計算する。

$s = \frac{7+5+4}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$s$の値を使って、三角形の面積$S$を計算する。

$S = \sqrt{8(8-7)(8-5)(8-4)} = \sqrt{8(1)(3)(4)} = \sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6}$

三角形の面積$S$は、$S = rs$とも表される。ここで、$r$は内接円の半径、$s$は半周長である。

したがって、$4\sqrt{6} = 8r$

$r$について解く。

$r = \frac{4\sqrt{6}}{8} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

内接円の半径は$\frac{\sqrt{6}}{2}$である。