画像には3つの問題が含まれています。ここでは3番目の問題のみを扱います。 問題 (3): 円 $C: x^2 - 4x + y^2 + 2y - 4 = 0$ と直線 $l: 3x - 4y + k = 0$ ($k > 0$) において、 (ア) 円 $C$ と直線 $l$ が接するとき、$k = \boxed{7}$ である。 (イ) 円 $C$ と直線 $l$ が 2 点 $P, Q$ で交わり、$PQ = 4$ ならば、$k = \boxed{8} \ \boxed{9} - \sqrt{\boxed{10} \ \boxed{11}}$ である。

1. 問題の内容

画像には3つの問題が含まれています。ここでは3番目の問題のみを扱います。

問題 (3):

円 $C: x^2 - 4x + y^2 + 2y - 4 = 0$ と直線 $l: 3x - 4y + k = 0$ ($k > 0$) において、

(ア) 円 $C$ と直線 $l$ が接するとき、$k = \boxed{7}$ である。

(イ) 円 $C$ と直線 $l$ が 2 点 $P, Q$ で交わり、$PQ = 4$ ならば、$k = \boxed{8} \ \boxed{9} - \sqrt{\boxed{10} \ \boxed{11}}$ である。

2. 解き方の手順

(ア) 円 $C$ と直線 $l$ が接するとき、$k$ を求める。

まず、円 $C$ の方程式を平方完成すると、

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) - 4 = 0$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) - 4 - 4 - 1 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9 = 3^2$

したがって、円 $C$ の中心は $(2, -1)$、半径は $3$ である。

直線 $l: 3x - 4y + k = 0$ と円 $C$ の中心 $(2, -1)$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|3(2) - 4(-1) + k|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 + 4 + k|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|10 + k|}{5}$

円 $C$ と直線 $l$ が接するとき、$d = 3$ となるので、

$\frac{|10 + k|}{5} = 3$

$|10 + k| = 15$

$10 + k = 15$ または $10 + k = -15$

$k = 5$ または $k = -25$

$k > 0$ より、$k = 5$

(イ) 円 $C$ と直線 $l$ が 2 点 $P, Q$ で交わり、$PQ = 4$ ならば、$k$ を求める。

円の中心を$O$とする。線分$PQ$の中点を$M$とする。

三角形$OPQ$は二等辺三角形だから、$OM \perp PQ$である。

$PM=MQ=\frac{PQ}{2} = \frac{4}{2}=2$

三角形$OMP$は直角三角形だから、$OP^2=OM^2+PM^2$

$OM^2 = OP^2 - PM^2=3^2-2^2=9-4=5$

$OM = \sqrt{5}$

円 $C$ の中心 $(2, -1)$ と直線 $l: 3x - 4y + k = 0$ の距離 $d$ は $\sqrt{5}$ である。

$\frac{|3(2) - 4(-1) + k|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 + 4 + k|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|10 + k|}{5} = \sqrt{5}$

$|10 + k| = 5\sqrt{5}$

$10 + k = 5\sqrt{5}$ または $10 + k = -5\sqrt{5}$

$k = -10 + 5\sqrt{5}$ または $k = -10 - 5\sqrt{5}$

$k > 0$ より、$k = -10 + 5\sqrt{5} = 5\sqrt{5} - 10$.

$5\sqrt{5} - 10 = \boxed{5}\sqrt{\boxed{5}} - \boxed{10}$

3. 最終的な答え

(ア) $k = 5$

(イ) $k = 5\sqrt{5} - 10$