$n$ 角形の対角線は $\frac{n(n-3)}{2}$ 本である。対角線が54本ある多角形は何角形か求めよ。

1. 問題の内容

$n$ 角形の対角線は $\frac{n(n-3)}{2}$ 本である。対角線が54本ある多角形は何角形か求めよ。

2. 解き方の手順

多角形の辺の数を$n$とすると、対角線の本数は$\frac{n(n-3)}{2}$と表される。

対角線が54本であることから、以下の方程式が成り立つ。

$\frac{n(n-3)}{2} = 54$

両辺に2をかける。

$n(n-3) = 108$

展開する。

$n^2 - 3n = 108$

移項する。

$n^2 - 3n - 108 = 0$

因数分解する。

$(n-12)(n+9) = 0$

$n$は正の整数であるから、

$n = 12$

したがって、この多角形は十二角形である。

3. 最終的な答え

十二角形