複素数平面上の3点A($\sqrt{3}+2i$), B($10+\sqrt{3}+8i$), C($\gamma$)を頂点とする$\triangle ABC$が正三角形となるような$\gamma$を求める問題。 (1) $\alpha = \sqrt{3}+2i$, $\beta = 10+\sqrt{3}+8i$とするとき、$arg\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$の値を求め、$\gamma - \alpha$を$\beta - \alpha$を用いて表す。 (2) $\gamma$を全て求める。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点A($\sqrt{3}+2i$), B($10+\sqrt{3}+8i$), C($\gamma$)を頂点とする$\triangle ABC$が正三角形となるような$\gamma$を求める問題。

(1) $\alpha = \sqrt{3}+2i$, $\beta = 10+\sqrt{3}+8i$とするとき、$arg\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$の値を求め、$\gamma - \alpha$を$\beta - \alpha$を用いて表す。

(2) $\gamma$を全て求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$が正三角形であるとき、$\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$は原点中心に$\pm\frac{\pi}{3}$回転させたものである。

したがって、$arg\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = \pm\frac{\pi}{3}$である。

$\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = cos(\pm\frac{\pi}{3}) + i sin(\pm\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\gamma - \alpha = (\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2})(\beta - \alpha)$

$\gamma - \alpha = (\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2})((10+\sqrt{3}+8i)-(\sqrt{3}+2i)) = (\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2})(10+6i)$

$\gamma - \alpha = (\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2})(10+6i) = 5 \mp 3\sqrt{3} + i(3 \pm 5\sqrt{3})$

$\gamma - \alpha = (\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i)(\beta-\alpha)$なので、$cos(\pm\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, $sin(\pm\frac{\pi}{3}) = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$。

$\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$なので$\gamma - \alpha = (\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2})(\beta-\alpha)$

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$, $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} \times \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$, $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3\times1}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$, $\sqrt{4}$

$\gamma - \alpha = (\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2})(\beta-\alpha)$なので$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$なので、$\gamma - \alpha = (\frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2})(10+6i) = 5 \mp 3\sqrt{3} + (3 \pm 5\sqrt{3})i$

(2) $\gamma = \alpha + 5 \mp 3\sqrt{3} + (3 \pm 5\sqrt{3})i = (\sqrt{3} + 2i) + 5 \mp 3\sqrt{3} + (3 \pm 5\sqrt{3})i$

$\gamma = 5-2\sqrt{3} + 5\sqrt{3}i+5+4\sqrt{3}i$

$\gamma = 5 - 2\sqrt{3} + 5i + 5\sqrt{3}i$, $\gamma = 5 + 4\sqrt{3}+i(5+5\sqrt{3})$

$\gamma_1 = (5+\sqrt{3}+2i)+5-3\sqrt{3}+i(3+5\sqrt{3}) = 5+\sqrt{3}+2i+5-3\sqrt{3}+3i+5\sqrt{3}i = 10-2\sqrt{3} + i(5+5\sqrt{3})$

$\gamma_2 = \sqrt{3}+2i+5+3\sqrt{3}+i(3-5\sqrt{3}) = 5+4\sqrt{3}+i(5-5\sqrt{3})$

よって、$\gamma = 5-2\sqrt{3}+(5+5\sqrt{3})i$, $\gamma = 5+4\sqrt{3}+(5-5\sqrt{3})i$

3. 最終的な答え

(1)

1: 3

2: 1

3: 2

4: 3

5: 2

(2)

6: 5

7: -

8: 2

9: 3

10: 5

11: 3

12: 5

13: +

14: 4

15: 5

16: 5

17: 3