長方形ABCDにおいて、点PはAを出発し毎秒1cmの速さで辺AB上をBまで、点Qは点Pと同時にBを出発し毎秒2cmの速さで辺BC上をCまで動く。三角形PBQの面積が20cm²になるのは、点PがAを出発してから何秒後かを求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、点PはAを出発し毎秒1cmの速さで辺AB上をBまで、点Qは点Pと同時にBを出発し毎秒2cmの速さで辺BC上をCまで動く。三角形PBQの面積が20cm²になるのは、点PがAを出発してから何秒後かを求める。

2. 解き方の手順

点PがAを出発してから$x$秒後の状態を考える。

このとき、

* AP = $x$ cm

* PB = $(20 - x)$ cm

* BQ = $2x$ cm

三角形PBQの面積は、$\frac{1}{2} \times PB \times BQ$で与えられ、これが20cm²になるときを求めるので、以下の式が成り立つ。

$\frac{1}{2} \times (20 - x) \times 2x = 20$

この方程式を解く。

$(20 - x)x = 20$

$20x - x^2 = 20$

$x^2 - 20x + 20 = 0$

解の公式を用いて、$x$を求める。

$x = \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \times 1 \times 20}}{2 \times 1}$

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 80}}{2}$

$x = \frac{20 \pm \sqrt{320}}{2}$

$x = \frac{20 \pm 8\sqrt{5}}{2}$

$x = 10 \pm 4\sqrt{5}$

ここで、$AB = 20$ cm, $BC = 10$ cmであるため、

$0 < x < 20$ and $0 < 2x < 10$なので、$0 < x < 5$でなければならない。

$4\sqrt{5} \approx 4 \times 2.236 = 8.944$

$10 + 4\sqrt{5} \approx 18.944$ これは条件を満たさない。

$10 - 4\sqrt{5} \approx 1.056$ これは条件を満たす。

3. 最終的な答え

$10 - 4\sqrt{5}$ 秒後