長方形の土地の周りに幅4mの道がある。道の面積を $S$ m$^2$、道の中央を通る線の長さを $l$ mとするとき、$S = 4l$ となることを証明する。

1. 問題の内容

長方形の土地の周りに幅4mの道がある。道の面積を $S$ m$^2$、道の中央を通る線の長さを $l$ mとするとき、$S = 4l$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、外側の長方形の長さを $2a + 8$ m、幅を $a + 8$ mとする。内側の長方形の長さは $2a$ m、幅は $a$ mである。

道の面積 $S$ は、外側の長方形の面積から内側の長方形の面積を引いたものである。

$S = (2a + 8)(a + 8) - (2a)(a)$

$S = 2a^2 + 16a + 8a + 64 - 2a^2$

$S = 24a + 64$

次に、道の中央を通る線の長さ $l$ を求める。これは、中央の長方形の周の長さに等しい。中央の長方形の長さは $2a + 4$ m、幅は $a + 4$ mである。

$l = 2(2a + 4) + 2(a + 4)$

$l = 4a + 8 + 2a + 8$

$l = 6a + 16$

したがって、$4l = 4(6a + 16) = 24a + 64$

これは $S$ に等しい。

3. 最終的な答え

$S = 24a + 64$

$4l = 24a + 64$

したがって、$S = 4l$ が成り立つ。