直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ と点 $P(2, -1)$ が与えられています。 (1) 直線 $l$ の法線ベクトルを一つ求めます。 (2) 点 $P$ を通り、$l$ に直交する直線 $l_1$ の媒介変数 $t$ による方程式を求めます。

1. 問題の内容

直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ と点 $P(2, -1)$ が与えられています。

(1) 直線 $l$ の法線ベクトルを一つ求めます。

(2) 点 $P$ を通り、$l$ に直交する直線 $l_1$ の媒介変数 $t$ による方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $ax + by + c = 0$ の法線ベクトルは $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ で与えられます。

直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ の場合、$a = 1$、$b = -2$ ですので、法線ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ となります。

(2) 点 $P(2, -1)$ を通り、直線 $l$ に直交する直線 $l_1$ の方程式を求めます。

直線 $l$ の法線ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ は、$l_1$ の方向ベクトルになります。

したがって、直線 $l_1$ は点 $P(2, -1)$ を通り、方向ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ を持つので、媒介変数 $t$ を用いて以下のように表されます。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

よって、

$x = 2 + t$

$y = -1 - 2t$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

(2) $x = 2 + t$, $y = -1 - 2t$