複素数平面上の3点 A($\sqrt{3}+2i$), B($10+\sqrt{3}+8i$), C($\gamma$) を頂点とする $\triangle ABC$ が正三角形となる時を考える。 (1) $\alpha = \sqrt{3}+2i$, $\beta=10+\sqrt{3}+8i$ とすると、$\arg \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ と $\gamma$ を求める問題。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点 A($\sqrt{3}+2i$), B($10+\sqrt{3}+8i$), C($\gamma$) を頂点とする $\triangle ABC$ が正三角形となる時を考える。

(1) $\alpha = \sqrt{3}+2i$, $\beta=10+\sqrt{3}+8i$ とすると、$\arg \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ と $\gamma$ を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$ が正三角形であるとき、$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ は、原点中心に$\pm \frac{\pi}{3}$回転させた複素数となる。よって、

$\arg \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \pm \frac{\pi}{3}$

$\beta - \alpha = (10+\sqrt{3}+8i) - (\sqrt{3}+2i) = 10+6i$

$\gamma - \alpha = \left( \cos(\pm \frac{\pi}{3}) + i \sin (\pm \frac{\pi}{3}) \right) (\beta - \alpha) = \left( \frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) (10+6i) = (5 \mp 3\sqrt{3}) + (3 \pm 5\sqrt{3})i$

従って、

$\gamma - \alpha = \frac{1}{2} (\beta - \alpha) \pm i \frac{\sqrt{3}}{2} (\beta - \alpha)$

$\gamma - \alpha = \frac{1}{2} (10+6i) \pm i \frac{\sqrt{3}}{2} (10+6i) = 5+3i \pm i (5\sqrt{3} + 3i \sqrt{3}) = 5+3i \pm (5\sqrt{3} i - 3\sqrt{3})$

$\gamma - \alpha = (5 \mp 3 \sqrt{3}) + (3 \pm 5\sqrt{3})i$

従って

$\gamma - \alpha = (\frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2}) (\beta - \alpha)$

$\gamma - \alpha = (\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i) (\beta - \alpha)$

$\gamma - \alpha = \frac{1}{2}(\beta - \alpha) \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i (\beta - \alpha)$

$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$, $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{3}{3} = \frac{\sqrt{27}}{6}$

(2) $\gamma = \alpha + (5 \mp 3 \sqrt{3}) + (3 \pm 5\sqrt{3})i$

$\gamma = (\sqrt{3} + 2i) + (5 \mp 3 \sqrt{3}) + (3 \pm 5\sqrt{3})i$

$\gamma = (5 - 2\sqrt{3}) + (5 + 5\sqrt{3})i$

$\gamma = (5 - 4\sqrt{3}) + (5 + 7\sqrt{3})i$

$\gamma = (5 - 2 \sqrt{3}) + (5 + 5 \sqrt{3}) i$

$\gamma = 5 + \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + (2+3+5\sqrt{3})i = 5 - 2 \sqrt{3} + (5+5\sqrt{3}) i$

$\gamma = 5 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + (2+3-5\sqrt{3})i = 5 + 4 \sqrt{3} + (5-5\sqrt{3}) i$

$\gamma_1 = 5 - 2\sqrt{3} + (5+5\sqrt{3})i$

$\gamma_2 = 5 + 4\sqrt{3} + (5- \sqrt{3})i$

$\arg \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = \pm \frac{\pi}{3}$

$\gamma - \alpha = (\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i)(\beta - \alpha) = (\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i)(10+6i) = 5 \mp 3\sqrt{3} + (3 \pm 5 \sqrt{3})i$

$\gamma = (\sqrt{3} + 2i) + (5 \mp 3\sqrt{3}) + (3 \pm 5\sqrt{3})i = (5 - 2\sqrt{3}) + (5 + 5\sqrt{3})i, (5+4\sqrt{3}) + (5-\sqrt{3})i$

3. 最終的な答え

(1)

$\arg \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = \pm \frac{\pi}{3}$

$\gamma - \alpha = (\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i) (\beta - \alpha)$

(2)

$\gamma = 5 - 2\sqrt{3} + (5+5\sqrt{3})i, 5+4\sqrt{3} + (5-\sqrt{3})i$