直角三角形ABCがあり、$AB = 16$ cm、$BC = 24$ cmです。点PはBを毎秒2 cmの速さでAに向かって動き、点QはCを毎秒3 cmの速さでBに向かって動きます。四角形APQCの面積が156 cm$^2$となるのは、点PがBを出発してから何秒後かを求める問題です。

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、$AB = 16$ cm、$BC = 24$ cmです。点PはBを毎秒2 cmの速さでAに向かって動き、点QはCを毎秒3 cmの速さでBに向かって動きます。四角形APQCの面積が156 cm$^2$となるのは、点PがBを出発してから何秒後かを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、点Pと点Qが出発してから$t$秒後の位置を考えます。

点PはBから$2t$ cmの位置にあり、点QはCから$3t$ cmの位置にあります。

三角形ABCの面積は、

$\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 16 \times 24 = 192$ cm$^2$

次に、三角形PBQの面積を$t$を用いて表します。PBの長さは$2t$ cm、BQの長さは$(24 - 3t)$ cmなので、三角形PBQの面積は、

$\frac{1}{2} \times PB \times BQ = \frac{1}{2} \times 2t \times (24 - 3t) = t(24 - 3t) = 24t - 3t^2$ cm$^2$

四角形APQCの面積は、三角形ABCの面積から三角形PBQの面積を引いたものなので、

$192 - (24t - 3t^2) = 156$

$3t^2 - 24t + 192 = 156$

$3t^2 - 24t + 36 = 0$

$t^2 - 8t + 12 = 0$

$(t - 2)(t - 6) = 0$

$t = 2$または$t = 6$

点PがAに到達するまでの時間は$16 / 2 = 8$秒であり、点QがBに到達するまでの時間は$24 / 3 = 8$秒であるため、$t$は8秒より小さい必要があります。

したがって、$t=2$と$t=6$は両方とも条件を満たします。

3. 最終的な答え

2秒後と6秒後