複素数平面上の3点A($\sqrt{3}+2i$), B($10+\sqrt{3}+8i$), C($\gamma$)を頂点とする三角形ABCが正三角形となるとき、$\gamma$の値を求める問題。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点A($\sqrt{3}+2i$), B($10+\sqrt{3}+8i$), C($\gamma$)を頂点とする三角形ABCが正三角形となるとき、$\gamma$の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

三角形ABCが正三角形であることから、$\arg \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \pm \frac{\pi}{3}$となる。

したがって、１の解答は3となる。

正三角形の条件から、$\gamma - \alpha = (\cos(\pm \frac{\pi}{3}) + i \sin(\pm \frac{\pi}{3}))(\beta - \alpha)$

$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}, \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}, \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\gamma - \alpha = (\frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2})(\beta - \alpha)$

したがって、$\gamma - \alpha = (\frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2})(\beta - \alpha)$より、

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{12}}{4}$

問題文の形に合わせると

$\gamma - \alpha = (\frac{2}{4} \pm i \frac{\sqrt{12}}{4})(\beta - \alpha)$

したがって、2の解答は2、3の解答は4、4の解答は12、5の解答は4となる。

(2)

$\beta - \alpha = (10 + \sqrt{3} + 8i) - (\sqrt{3} + 2i) = 10 + 6i$

$\gamma = \alpha + (\frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2})(10 + 6i) = (\sqrt{3} + 2i) + (5 + 3i(\pm \sqrt{3})) = (\sqrt{3} + 2i) + (5 \mp 3\sqrt{3}) + i (3 \pm 5\sqrt{3})$

$\gamma = \sqrt{3} + 5 \mp 3\sqrt{3} + i (2 + 3 \pm 5\sqrt{3})$

$\gamma_1 = 5 - 2\sqrt{3} + i (5 + 5\sqrt{3})$

$\gamma_2 = 5 + 4\sqrt{3} + i (-1 + 5\sqrt{3})$

したがって、6の解答は5、7の解答は2、8の解答は3、9の解答は5、10の解答は5、11の解答は3、12の解答は5、13の解答は4、14の解答は3、15の解答はマイナス1、16の解答は5、17の解答は3となる。

3. 最終的な答え

(1)

1: 3

2: 2

3: 4

4: 12

5: 4

(2)

6: 5

7: 2

8: 3

9: 5

10: 5

11: 3

12: 5

13: 4

14: 3

15: -1

16: 5

17: 3