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よって、 $x = 27^{\circ}$

幾何学三角形外心二等辺三角形角度
2025/5/23
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1. 問題の内容

点Oは三角形ABCの外心である。それぞれの図において、角xとyを求めよ。
(1) 図1では、角OABが27度、角OACが23度である。
(2) 図2では、角OABが15度、角OCAが23度である。
(3) 図3では、角Aが56度、角Bが50度である。
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2. 解き方の手順

外心の性質として、外心から各頂点までの距離は等しい（外接円の半径）。つまり、OA=OB=OCである。
**(1) 図1**

1. 三角形OABはOA=OBの二等辺三角形であるから、角OBA = 角OAB = 27度。

よって、 x=27∘x = 27^{\circ}

2. 三角形OACはOA=OCの二等辺三角形であるから、角OCA = 角OAC = 23度。

よって、yyを求める必要はない。
**(2) 図2**

1. 三角形OCAはOA=OCの二等辺三角形であるから、角OAC = 角OCA = 23度。

よって、x=15∘+23∘=38∘x = 15^{\circ} + 23^{\circ} = 38^{\circ}

2. 三角形OABはOA=OBの二等辺三角形であるから、角OBA = 角OAB = 15度。

よって、三角形OBCはOB=OCの二等辺三角形であるから、角OBC = 角OCB = 23度。
したがって、yyは角BOCである。
角BOCは、弧BCに対する中心角なので、円周角である角BACの2倍に等しい。
y=2x=2×38∘=76∘y = 2x = 2 \times 38^{\circ} = 76^{\circ}
**(3) 図3**

1. 三角形ABCにおいて、角C = 180 - 角A - 角B = 180 - 56 - 50 = 74度。

よって、yyは角OCBである。

2. 三角形OBCはOB=OCの二等辺三角形であるから、角OBC = 角OCB = $y$。

3. 三角形OABはOA=OBの二等辺三角形であるから、角OBA = 角OAB 。

三角形OACはOA=OCの二等辺三角形であるから、角OCA = 角OAC。
よって、角A= 角OAB + 角OAC , 角B=角OBA + 角OBC, 角C=角OCA + 角OCB。
角A + 角B + 角C= 180度
角OAB = a とすると 角OAC=56 - a, 角OBC=50 - y, 角OCB=y 。

4. 三角形OCAにおいて 角OCA = 角OAC = 56 - a.

したがって角C = 56 - a + y = 74
y = 74 - 56 + a = 18 + a

5. 三角形OABにおいて 角OBA = 角OAB = a.

したがって角B = a + 50 - y = 50
a - y = 0
y = a

6. y = 18 + a = a とすると 18 = 0 となり矛盾する。

別の方法で解く。
OA=OB=OCなので、三角形OAB,OBC,OCAは二等辺三角形である。
角OAB = xとする。
角OBA = 角OAB = x
角OCA = yとする。
角OAC = 角OCA = y
角OBC = zとする。
角OCB = 角OBC = z
三角形ABCの内角の和は180度なので、
2x+2y+2z=3602x+2y+2z=360
x + y + z= 180/2=90
三角形ABCの各内角は、
角A = x+y=56
角B = x+z=50
角C = y+z = 180-56-50 = 74
y+z = 74 を 変形して z = 74-y
x+z=50 より　x+74-y=50 を変形して x=y-24
x+y=56より　y-24+y=56
2y=80
y=40
したがって、x=56-40=16, z=50-16=34
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3. 最終的な答え

**(1)**
x=27∘x = 27^{\circ}
**(2)**
x=38∘x = 38^{\circ}
y=76∘y = 76^{\circ}
**(3)**
x=16∘x=16^{\circ}
y=40∘y=40^{\circ}

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