3点A(2, 3), B(5, 7), C(4, -1)が与えられている。 (1) 直線ABの方程式を求める。 (2) 点Cと直線ABとの距離を求める。 (3) 三角形ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

3点A(2, 3), B(5, 7), C(4, -1)が与えられている。

(1) 直線ABの方程式を求める。

(2) 点Cと直線ABとの距離を求める。

(3) 三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線ABの方程式を求める。

直線ABの傾きを$m$とすると、

$m = \frac{7-3}{5-2} = \frac{4}{3}$

点A(2, 3)を通り傾きが$m = \frac{4}{3}$の直線の方程式は、

$y - 3 = \frac{4}{3}(x - 2)$

$3(y - 3) = 4(x - 2)$

$3y - 9 = 4x - 8$

$4x - 3y + 1 = 0$

(2) 点C(4, -1)と直線AB $4x - 3y + 1 = 0$との距離を求める。

点$(x_1, y_1)$と直線$ax + by + c = 0$との距離$d$は、

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

点C(4, -1)と直線AB $4x - 3y + 1 = 0$との距離は、

$d = \frac{|4(4) - 3(-1) + 1|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|16 + 3 + 1|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{20}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} = 4$

(3) 三角形ABCの面積を求める。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times AB \times (点Cと直線ABとの距離)$で求められる。

ABの長さは、$\sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

よって、三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10$

または、ヘロンの公式を用いる。

$a = \sqrt{(5-4)^2 + (7-(-1))^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}$

$b = \sqrt{(2-4)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$c = \sqrt{(2-5)^2 + (3-7)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$s = \frac{\sqrt{65} + 2\sqrt{5} + 5}{2}$

面積$S$は、$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

別解として、ベクトルの外積を用いる方法がある。

$\vec{AB} = (5-2, 7-3) = (3, 4)$

$\vec{AC} = (4-2, -1-3) = (2, -4)$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} |3 \cdot (-4) - 4 \cdot 2| = \frac{1}{2} |-12 - 8| = \frac{1}{2} |-20| = 10$

3. 最終的な答え

(1) $4x - 3y + 1 = 0$

(2) 4

(3) 10