$\triangle ABC$ において、辺 $BC$, $CA$, $AB$ の中点をそれぞれ $L$, $M$, $N$ とする。任意の点 $O$ に対して、$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OL} + \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON}$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $BC$, $CA$, $AB$ の中点をそれぞれ $L$, $M$, $N$ とする。任意の点 $O$ に対して、$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OL} + \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON}$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

$L$, $M$, $N$ はそれぞれ $BC$, $CA$, $AB$ の中点であるから、以下の式が成り立つ。

$\overrightarrow{OL} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2}$

$\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA}}{2}$

$\overrightarrow{ON} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}$

これらの式を足し合わせると、

$\overrightarrow{OL} + \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2} + \frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA}}{2} + \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}$

$\overrightarrow{OL} + \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON} = \frac{2\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC}}{2}$

$\overrightarrow{OL} + \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$

したがって、$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OL} + \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OL} + \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON}$ が成り立つ。 (証明終わり)