三角形ABCにおいて、角Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとする。以下の線分の長さを求める。 (1) CD (2) AB (3) AC (4) BD (5) CD

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとする。以下の線分の長さを求める。

(1) CD

(2) AB

(3) AC

(4) BD

(5) CD

2. 解き方の手順

角の二等分線の性質を利用する。

三角形ABCにおいて、角Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとすると、以下の関係が成り立つ。

$AB:AC = BD:CD$

(1)

$AB = 28$, $AC = 21$, $BD = 8$ のとき、$CD$ を求める。

$28:21 = 8:CD$

$28 \cdot CD = 21 \cdot 8$

$CD = \frac{21 \cdot 8}{28} = \frac{3 \cdot 8}{4} = 3 \cdot 2 = 6$

(2)

$AC = 4$, $BD = 5$, $CD = 3$ のとき、$AB$ を求める。

$AB:4 = 5:3$

$3 \cdot AB = 4 \cdot 5$

$AB = \frac{4 \cdot 5}{3} = \frac{20}{3}$

(3)

$AB = 6$, $BD = 4$, $CD = 7$ のとき、$AC$ を求める。

$6:AC = 4:7$

$4 \cdot AC = 6 \cdot 7$

$AC = \frac{6 \cdot 7}{4} = \frac{3 \cdot 7}{2} = \frac{21}{2}$

(4)

$AB = 5$, $AC = 4$, $CD = 6$ のとき、$BD$ を求める。

$5:4 = BD:6$

$4 \cdot BD = 5 \cdot 6$

$BD = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{5 \cdot 3}{2} = \frac{15}{2}$

(5)

$AB = 6$, $AC = 8$, $BD = 7$ のとき、$CD$ を求める。

$6:8 = 7:CD$

$6 \cdot CD = 8 \cdot 7$

$CD = \frac{8 \cdot 7}{6} = \frac{4 \cdot 7}{3} = \frac{28}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $CD = 6$

(2) $AB = \frac{20}{3}$

(3) $AC = \frac{21}{2}$

(4) $BD = \frac{15}{2}$

(5) $CD = \frac{28}{3}$