点Oは三角形ABCの外心である。それぞれの図において、指定された角x, yを求める問題です。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

点Oは三角形ABCの外心である。それぞれの図において、指定された角x, yを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

外心Oから各頂点までの距離は等しいので、OA = OB = OCです。したがって、三角形OABと三角形OACは二等辺三角形となります。

三角形OABにおいて、$\angle OBA = 14^\circ$なので、$\angle OAB = \angle OBA = 14^\circ$です。

三角形OACにおいて、$\angle OCA = 39^\circ$なので、$\angle OAC = \angle OCA = 39^\circ$です。

したがって、$\angle BAC = x = \angle OAB + \angle OAC = 14^\circ + 39^\circ = 53^\circ$

(2)

外心Oから各頂点までの距離は等しいので、OA = OB = OCです。したがって、三角形OABと三角形OBCは二等辺三角形となります。

三角形OABにおいて、$\angle OBA = x$なので、$\angle OAB = \angle OBA = x$です。

$\angle BAC = 18^\circ + x$

三角形OBCにおいて、$\angle OCB = 35^\circ$なので、$\angle OBC = \angle OCB = 35^\circ$です。

$\angle ABC = x + 35^\circ$

三角形ABCの内角の和は180°なので、

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$

$(18^\circ + x) + (x + 35^\circ) + 35^\circ = 180^\circ$

$2x + 88^\circ = 180^\circ$

$2x = 92^\circ$

$x = 46^\circ$

三角形OABは二等辺三角形なので、$\angle AOB = 180^\circ - 2x = 180^\circ - 2(46^\circ) = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$

したがって、$y = \angle AOB = 88^\circ$

(3)

外心Oから各頂点までの距離は等しいので、OA = OB = OCです。したがって、三角形OABと三角形OACは二等辺三角形となります。

$\angle BAC = 67^\circ$

$\angle BCA = 75^\circ$

$\angle ABC = 180^\circ - 67^\circ - 75^\circ = 38^\circ$

$\angle OBC = x$ なので、$\angle OAB = y$

$\angle OBA = \angle OAB = y$

三角形OACにおいて、$\angle OAC = 67^\circ - y$ なので、$\angle OCA = \angle OAC = 67^\circ - y$

$\angle OCB = 75^\circ - (67^\circ - y) = 8^\circ + y$

$\angle OBC = \angle OCB = 8^\circ + y = x$

$\angle ABC = x+y = 38^\circ$

$8^\circ + y + y = 38^\circ$

$2y = 30^\circ$

$y = 15^\circ$

$x = 38^\circ - 15^\circ = 23^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $x = 53^\circ$

(2) $x = 46^\circ$, $y = 88^\circ$

(3) $x = 23^\circ$, $y = 15^\circ$