座標平面上の点A(2, 5), B(5, 2), C(6, 1)について、ベクトル$\overrightarrow{AC}$と$\overrightarrow{AB}$の成分表示を求め、さらに点A, B, Cが一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

座標平面上の点A(2, 5), B(5, 2), C(6, 1)について、ベクトル$\overrightarrow{AC}$と$\overrightarrow{AB}$の成分表示を求め、さらに点A, B, Cが一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル$\overrightarrow{AC}$と$\overrightarrow{AB}$の成分表示を求める。

$\overrightarrow{AC} = (Cのx座標 - Aのx座標, Cのy座標 - Aのy座標)$

$\overrightarrow{AB} = (Bのx座標 - Aのx座標, Bのy座標 - Aのy座標)$

次に、求めたベクトル$\overrightarrow{AC}$と$\overrightarrow{AB}$が平行であることを示す。これは、$\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$となる実数$k$が存在することを示せばよい。

成分で表すと、$\overrightarrow{AC} = (x_1, y_1)$, $\overrightarrow{AB} = (x_2, y_2)$としたときに、$x_1 = kx_2$かつ$y_1 = ky_2$となる$k$が存在することを示す。

最後に、ベクトルが平行であり、かつ点Aを共有しているので、点A, B, Cは一直線上にあると言える。

具体的に計算すると、

$\overrightarrow{AC} = (6 - 2, 1 - 5) = (4, -4)$

$\overrightarrow{AB} = (5 - 2, 2 - 5) = (3, -3)$

$\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$となる$k$を求める。

$(4, -4) = k(3, -3)$

$4 = 3k$より、$k = \frac{4}{3}$

$-4 = -3k$より、$k = \frac{4}{3}$

よって、$k = \frac{4}{3}$が存在する。

したがって、$\overrightarrow{AC} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AB}$なので、$\overrightarrow{AC}$と$\overrightarrow{AB}$は平行である。

また、$\overrightarrow{AC}$と$\overrightarrow{AB}$は点Aを共有しているので、点A, B, Cは一直線上にある。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AC} = (4, -4)$

$\overrightarrow{AB} = (3, -3)$

$\overrightarrow{AC}$と$\overrightarrow{AB}$は平行であり、点Aを共有するため、点A, B, Cは一直線上にある。