点A(3, 0), B(4, 3), C(-1, 1)が与えられたとき、以下のベクトルの絶対値をそれぞれ求めます。 (1) $|\overrightarrow{AB}|$ (2) $|\overrightarrow{BC}|$ (3) $|\overrightarrow{CA}|$

1. 問題の内容

点A(3, 0), B(4, 3), C(-1, 1)が与えられたとき、以下のベクトルの絶対値をそれぞれ求めます。

(1) $|\overrightarrow{AB}|$

(2) $|\overrightarrow{BC}|$

(3) $|\overrightarrow{CA}|$

2. 解き方の手順

ベクトルの絶対値（大きさ）は、ベクトルの成分を用いて計算できます。ベクトル$\overrightarrow{PQ}$の成分は、$Q$の座標から$P$の座標を引くことで求められます。すなわち、もし$P(x_1, y_1)$, $Q(x_2, y_2)$ならば、$\overrightarrow{PQ} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$です。ベクトルの絶対値は、その成分の二乗和の平方根で計算されます。すなわち、$\overrightarrow{PQ} = (a, b)$ならば、$|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{a^2 + b^2}$です。

(1) $|\overrightarrow{AB}|$ の計算:

$\overrightarrow{AB} = (4 - 3, 3 - 0) = (1, 3)$

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

(2) $|\overrightarrow{BC}|$ の計算:

$\overrightarrow{BC} = (-1 - 4, 1 - 3) = (-5, -2)$

$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$

(3) $|\overrightarrow{CA}|$ の計算:

$\overrightarrow{CA} = (3 - (-1), 0 - 1) = (4, -1)$

$|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$

3. 最終的な答え

(1) $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{10}$

(2) $|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{29}$

(3) $|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{17}$