ベクトル $\vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}$ を軸とする $\theta$ 回転を表す変換行列を求める。ただし、$\vec{n}$ は単位ベクトルである（$\| \vec{n} \| = 1$）。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}$ を軸とする $\theta$ 回転を表す変換行列を求める。ただし、$\vec{n}$ は単位ベクトルである（$\| \vec{n} \| = 1$）。

2. 解き方の手順

この問題はロドリゲスの回転公式を用いて解く。ロドリゲスの回転公式とは、単位ベクトル $\vec{n}$ を軸とする角度 $\theta$ の回転を表す行列 $R$ を与える公式である。

まず、ベクトル $\vec{n}$ の成分を用いて行列 $K$ を以下のように定義する。

$K = \begin{pmatrix}

0 & -n_3 & n_2 \\

n_3 & 0 & -n_1 \\

-n_2 & n_1 & 0

\end{pmatrix}$

次に、回転行列 $R$ は以下の式で与えられる。

$R = I + \sin(\theta) K + (1 - \cos(\theta)) K^2$

ここで、$I$ は3x3の単位行列である。

具体的に計算すると、以下のようになる。

$K^2 = \begin{pmatrix}

-n_2^2 - n_3^2 & n_1n_2 & n_1n_3 \\

n_1n_2 & -n_1^2 - n_3^2 & n_2n_3 \\

n_1n_3 & n_2n_3 & -n_1^2 - n_2^2

\end{pmatrix}$

$\vec{n}$ は単位ベクトルなので、$n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 = 1$ である。したがって、

$K^2 = \begin{pmatrix}

n_1^2 - 1 & n_1n_2 & n_1n_3 \\

n_1n_2 & n_2^2 - 1 & n_2n_3 \\

n_1n_3 & n_2n_3 & n_3^2 - 1

\end{pmatrix}$

$R = \begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

+ \sin(\theta) \begin{pmatrix}

0 & -n_3 & n_2 \\

n_3 & 0 & -n_1 \\

-n_2 & n_1 & 0

\end{pmatrix}

+ (1 - \cos(\theta)) \begin{pmatrix}

n_1^2 - 1 & n_1n_2 & n_1n_3 \\

n_1n_2 & n_2^2 - 1 & n_2n_3 \\

n_1n_3 & n_2n_3 & n_3^2 - 1

\end{pmatrix}$

$R = \begin{pmatrix}

\cos(\theta) + n_1^2(1-\cos(\theta)) & n_1n_2(1-\cos(\theta)) - n_3\sin(\theta) & n_1n_3(1-\cos(\theta)) + n_2\sin(\theta) \\

n_1n_2(1-\cos(\theta)) + n_3\sin(\theta) & \cos(\theta) + n_2^2(1-\cos(\theta)) & n_2n_3(1-\cos(\theta)) - n_1\sin(\theta) \\

n_1n_3(1-\cos(\theta)) - n_2\sin(\theta) & n_2n_3(1-\cos(\theta)) + n_1\sin(\theta) & \cos(\theta) + n_3^2(1-\cos(\theta))

\end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix}

\cos(\theta) + n_1^2(1-\cos(\theta)) & n_1n_2(1-\cos(\theta)) - n_3\sin(\theta) & n_1n_3(1-\cos(\theta)) + n_2\sin(\theta) \\

n_1n_2(1-\cos(\theta)) + n_3\sin(\theta) & \cos(\theta) + n_2^2(1-\cos(\theta)) & n_2n_3(1-\cos(\theta)) - n_1\sin(\theta) \\

n_1n_3(1-\cos(\theta)) - n_2\sin(\theta) & n_2n_3(1-\cos(\theta)) + n_1\sin(\theta) & \cos(\theta) + n_3^2(1-\cos(\theta))

\end{pmatrix}$