$\triangle ABC$ の重心を $G$ とするとき、$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3}$ であることを証明する。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ の重心を $G$ とするとき、$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3}$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

重心 $G$ は、三角形の3つの中線の交点である。

ここでは、辺 $BC$ の中点を $M$ とし、$AM$ を中線とする。

$M$ は $BC$ の中点であるから、

$\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2}$

また、重心 $G$ は中線 $AM$ を $2:1$ に内分するので、

$\overrightarrow{OG} = \frac{1 \cdot \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{OM}}{1+2}$

$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OM}}{3}$

$\overrightarrow{OM}$ に $\frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2}$ を代入すると、

$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + 2 \cdot \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2}}{3}$

$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3}$