三角形ABCにおいて、$a=4$, $b=5$, $c=7$であるとき、$\cos C$の値と、三角形ABCの面積Sを求める問題です。また、$\frac{50}{3}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求めます。（ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$）

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=4$, $b=5$, $c=7$であるとき、$\cos C$の値と、三角形ABCの面積Sを求める問題です。また、$\frac{50}{3}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求めます。（ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$）

2. 解き方の手順

(1) $\cos C$を求める

余弦定理より、

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

$7^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cos C$

$49 = 16 + 25 - 40 \cos C$

$49 = 41 - 40 \cos C$

$40 \cos C = 41 - 49$

$40 \cos C = -8$

$\cos C = -\frac{8}{40} = -\frac{1}{5}$

したがって、$cos C = \frac{-1}{5}$

(2) 三角形ABCの面積Sを求める

$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$より、

$\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - (-\frac{1}{5})^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$\sin C = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ （$\sin C > 0$）

三角形の面積Sは、

$S = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = 2 \cdot 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$

したがって、$S=4\sqrt{6}$

(3) $\frac{50}{3}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。

$x = \left(\frac{5}{3}\right)^{50}$とおくと、$\log_{10} x = 50 (\log_{10} 5 - \log_{10} 3)$

$\log_{10} 5 = \log_{10} (\frac{10}{2}) = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

$\log_{10} x = 50 (0.6990 - 0.4771) = 50(0.2219) = 11.095$

$x = 10^{11.095} = 10^{11} \cdot 10^{0.095}$

$10^{0.095} \approx 1.245$

したがって、$(\frac{5}{3})^{50} \approx 1.245 \times 10^{11}$

$\left(\frac{3}{5}\right)^{50} = \frac{1}{x} \approx \frac{1}{1.245 \times 10^{11}} \approx 0.803 \times 10^{-11} \approx 8.03 \times 10^{-12}$

よって、小数第12位に初めて0でない数字が現れる。

3. 最終的な答え

(1) $\cos C = -\frac{1}{5}$

(2) $S=4\sqrt{6}$

(3) 小数第12位