四角形OABCにおいて、$\overrightarrow{OB} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC}$という関係が与えられています。ここで、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$、$\overrightarrow{OC} = \vec{c}$とします。 (1) $\vec{c}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表します。 (2) $\overrightarrow{CB} // \overrightarrow{OA}$であることを証明します。

1. 問題の内容

四角形OABCにおいて、$\overrightarrow{OB} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC}$という関係が与えられています。ここで、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$、$\overrightarrow{OC} = \vec{c}$とします。

(1) $\vec{c}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表します。

(2) $\overrightarrow{CB} // \overrightarrow{OA}$であることを証明します。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{c}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

与えられた関係式は

$\overrightarrow{OB} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC}$

です。ここで、$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$なので、

$\overrightarrow{OB} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$

となります。これを書き換えると、

$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} - \frac{3}{2}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$

となります。与えられた記号を用いると、

$\vec{c} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}$

となります。

(2) $\overrightarrow{CB} // \overrightarrow{OA}$であることを証明する。

$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{CB} = \vec{b} - \vec{c}$

(1)の結果を用いると、

$\overrightarrow{CB} = \vec{b} - (\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a})$

$\overrightarrow{CB} = \frac{1}{2}\vec{a}$

となります。これは、$\overrightarrow{CB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$を意味するので、$\overrightarrow{CB}$は$\overrightarrow{OA}$の定数倍であり、$\overrightarrow{CB} // \overrightarrow{OA}$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{c} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}$

(2) $\overrightarrow{CB} // \overrightarrow{OA}$