問題11では、基本ベクトル$\vec{i}, \vec{j}$の内積$\vec{i} \cdot \vec{i}$, $\vec{j} \cdot \vec{j}$, $\vec{i} \cdot \vec{j}$, $\vec{j} \cdot \vec{i}$を計算します。 問題12では、与えられた三角形ABCについて、ベクトル$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$, $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$, $\vec{BC} \cdot \vec{AC}$, $\vec{BC} \cdot \vec{CA}$の内積を計算します。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題11では、基本ベクトル$\vec{i}, \vec{j}$の内積$\vec{i} \cdot \vec{i}$, $\vec{j} \cdot \vec{j}$, $\vec{i} \cdot \vec{j}$, $\vec{j} \cdot \vec{i}$を計算します。

問題12では、与えられた三角形ABCについて、ベクトル$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$, $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$, $\vec{BC} \cdot \vec{AC}$, $\vec{BC} \cdot \vec{CA}$の内積を計算します。

2. 解き方の手順

問題11:

(1) $\vec{i} \cdot \vec{i}$: $\vec{i}$は単位ベクトルなので、$\vec{i} \cdot \vec{i} = |\vec{i}||\vec{i}| \cos 0^{\circ} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

(2) $\vec{j} \cdot \vec{j}$: $\vec{j}$は単位ベクトルなので、$\vec{j} \cdot \vec{j} = |\vec{j}||\vec{j}| \cos 0^{\circ} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

(3) $\vec{i} \cdot \vec{j}$: $\vec{i}$と$\vec{j}$は直交するので、$\vec{i} \cdot \vec{j} = |\vec{i}||\vec{j}| \cos 90^{\circ} = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$

(4) $\vec{j} \cdot \vec{i}$: $\vec{j}$と$\vec{i}$は直交するので、$\vec{j} \cdot \vec{i} = |\vec{j}||\vec{i}| \cos 90^{\circ} = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$

問題12:

まず、図の三角形ABCの辺の長さを求めます。

$\angle B = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$, $\angle C = 60^{\circ}$, $BC = 1$です。

三角比を用いて、$AB$と$AC$を求めます。

$\tan 30^{\circ} = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{AB} \implies AB = \frac{1}{\tan 30^{\circ}} = \sqrt{3}$

$\sin 30^{\circ} = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{AC} \implies AC = \frac{1}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

(1) $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}||\vec{AC}| \cos 30^{\circ} = \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$

(2) $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}||\vec{BC}| \cos 90^{\circ} = \sqrt{3} \cdot 1 \cdot 0 = 0$

(3) $\vec{BC} \cdot \vec{AC} = |\vec{BC}||\vec{AC}| \cos 60^{\circ} = 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

(4) $\vec{BC} \cdot \vec{CA} = |\vec{BC}||\vec{CA}| \cos (180^{\circ} - 60^{\circ}) = |\vec{BC}||\vec{CA}| \cos 120^{\circ} = 1 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$

3. 最終的な答え

問題11:

(1) 1

(2) 1

(3) 0

(4) 0

問題12:

(1) 3

(2) 0

(3) 1

(4) -1