高さ50mの塔が立っている地点Hと同じ標高の地点Aから、塔の頂点Pを見た角度が30°であった。また、Bと同じ標高の地点BからPを見た角度が45°で、∠BHA=30°であった。2地点A, B間の距離を求めなさい。ただし、分母に根号が含まれる場合は分母を有理化して答えなさい。また、数ののみ答えなさい（単位は不要）。

1. 問題の内容

高さ50mの塔が立っている地点Hと同じ標高の地点Aから、塔の頂点Pを見た角度が30°であった。また、Bと同じ標高の地点BからPを見た角度が45°で、∠BHA=30°であった。2地点A, B間の距離を求めなさい。ただし、分母に根号が含まれる場合は分母を有理化して答えなさい。また、数ののみ答えなさい（単位は不要）。

2. 解き方の手順

まず、線分PHの長さを求める。

$\triangle PAH$において、$\angle PAH = 30^\circ$, $PH = 50$であるから、

$AH = \frac{PH}{\tan 30^\circ} = \frac{50}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 50\sqrt{3}$

$\triangle PBH$において、$\angle PBH = 45^\circ$, $PH = 50$であるから、

$BH = \frac{PH}{\tan 45^\circ} = \frac{50}{1} = 50$

次に、$\triangle ABH$において、余弦定理を用いる。

$AB^2 = AH^2 + BH^2 - 2 AH \cdot BH \cos \angle BHA$

$\angle BHA = 30^\circ$であるから、

$AB^2 = (50\sqrt{3})^2 + 50^2 - 2 \cdot 50\sqrt{3} \cdot 50 \cos 30^\circ$

$= 50^2 \cdot 3 + 50^2 - 2 \cdot 50^2 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$= 50^2 \cdot 4 - 50^2 \cdot 3 = 50^2$

$AB = \sqrt{50^2} = 50$

3. 最終的な答え

50