三角形ABCにおいて、$AB=4$, $AC=3$, $\angle A=60^\circ$とする。$\angle A$の二等分線と辺$BC$の交点を$D$とするとき、$AD$の長さを求めなさい。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=4$, $AC=3$, $\angle A=60^\circ$とする。$\angle A$の二等分線と辺$BC$の交点を$D$とするとき、$AD$の長さを求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$BC$の長さを余弦定理を用いて求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ$

$BC^2 = 16 + 9 - 24 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 25 - 12 = 13$

$BC = \sqrt{13}$

角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 4:3$であるから、

$BD = \frac{4}{4+3} BC = \frac{4}{7} \sqrt{13}$

$DC = \frac{3}{4+3} BC = \frac{3}{7} \sqrt{13}$

次に、$\triangle ABD$に余弦定理を適用する。$\angle BAD = 30^\circ$であるから、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos 30^\circ$

$(\frac{4}{7} \sqrt{13})^2 = 4^2 + AD^2 - 2 \cdot 4 \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{16 \cdot 13}{49} = 16 + AD^2 - 4\sqrt{3} AD$

$\frac{208}{49} = 16 + AD^2 - 4\sqrt{3} AD$

$AD^2 - 4\sqrt{3} AD + 16 - \frac{208}{49} = 0$

$AD^2 - 4\sqrt{3} AD + \frac{784-208}{49} = 0$

$AD^2 - 4\sqrt{3} AD + \frac{576}{49} = 0$

解の公式より、

$AD = \frac{4\sqrt{3} \pm \sqrt{(4\sqrt{3})^2 - 4 \cdot \frac{576}{49}}}{2}$

$AD = \frac{4\sqrt{3} \pm \sqrt{48 - \frac{2304}{49}}}{2}$

$AD = \frac{4\sqrt{3} \pm \sqrt{\frac{2352 - 2304}{49}}}{2}$

$AD = \frac{4\sqrt{3} \pm \sqrt{\frac{48}{49}}}{2}$

$AD = \frac{4\sqrt{3} \pm \frac{4\sqrt{3}}{7}}{2}$

$AD = 2\sqrt{3} \pm \frac{2\sqrt{3}}{7}$

$AD = \frac{14\sqrt{3} \pm 2\sqrt{3}}{7}$

$AD = \frac{16\sqrt{3}}{7}$ or $AD = \frac{12\sqrt{3}}{7}$

ここで、三角形の面積を利用する。

$\triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ACD$

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin 30^\circ + \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin 30^\circ$

$4 \cdot 3 \cdot \sin 60^\circ = 4 \cdot AD \cdot \sin 30^\circ + 3 \cdot AD \cdot \sin 30^\circ$

$12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot AD \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot AD \cdot \frac{1}{2}$

$6\sqrt{3} = 2AD + \frac{3}{2} AD$

$6\sqrt{3} = \frac{7}{2} AD$

$AD = \frac{12\sqrt{3}}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{12\sqrt{3}}{7}$