2つの円 $O$ と $O'$ があり、それぞれの半径は5と7です。中心間の距離 $OO'$ は15です。直線 $AB$ は2つの円の共通接線で、$A$ と $B$ は接点です。線分 $AB$ の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

2つの円 $O$ と $O'$ があり、それぞれの半径は5と7です。中心間の距離 $OO'$ は15です。直線 $AB$ は2つの円の共通接線で、$A$ と $B$ は接点です。線分 $AB$ の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、点 $O$ から線分 $OO'$ に平行で線分 $BO'$ に垂直な線を引き、その交点を $C$ とします。すると、四角形 $OACO'$ は長方形になるので、$OA = CO'$ となります。また、三角形 $OCO'$ は直角三角形になります。

$CO' = BO' - BC$ ですが、$BC = AO$ より $CO' = BO' - AO = 7 - 5 = 2$ となります。

直角三角形 $OCO'$ において、三平方の定理より、

$OC^2 + CO'^2 = OO'^2$

$OC^2 + 2^2 = 15^2$

$OC^2 + 4 = 225$

$OC^2 = 221$

$OC = \sqrt{221}$

長方形 $OABC$ より、$AB = OC$ であるため、$AB = \sqrt{221}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{221}$