三角形ABCにおいて、外接円の半径を$R$とする。 (1) $b=8, B=60^\circ$のとき、$R$を求める。 (2) $a=R$のとき、$A$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、外接円の半径を$R$とする。

(1) $b=8, B=60^\circ$のとき、$R$を求める。

(2) $a=R$のとき、$A$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、

$\frac{b}{\sin B}=2R$

$R=\frac{b}{2\sin B}$

$b=8$、$B=60^\circ$を代入すると、

$R = \frac{8}{2 \sin 60^\circ} = \frac{8}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$

(2) 正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A}=2R$

$a=R$より、

$\frac{R}{\sin A}=2R$

$\sin A = \frac{1}{2}$

$A=30^\circ, 150^\circ$

$A=150^\circ$のとき、 $a=R$より、$a$は三角形ABCの最も長い辺となる。よって、$A$は三角形ABCの最も大きい角となるはずである。しかし、$A=150^\circ$の場合、$B$と$C$は正の角度を持てないため、$A=30^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $R = \frac{8\sqrt{3}}{3}$

(2) $A = 30^\circ$