問題は2つあります。 (4) $a = 2\sqrt{6}, b = 4, A = 60^\circ$ のとき、$c$ を求めよ。 (5) $a = 1 + \sqrt{3}, b = \sqrt{6}, c = 2$ のとき、$B$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(4) $a = 2\sqrt{6}, b = 4, A = 60^\circ$ のとき、$c$ を求めよ。

(5) $a = 1 + \sqrt{3}, b = \sqrt{6}, c = 2$ のとき、$B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(4) 余弦定理を用いる。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$(2\sqrt{6})^2 = 4^2 + c^2 - 2(4)(c)\cos 60^\circ$

$24 = 16 + c^2 - 8c \cdot \frac{1}{2}$

$24 = 16 + c^2 - 4c$

$c^2 - 4c - 8 = 0$

$c = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}$

$c = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2}$

$c = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2}$

$c = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2}$

$c = 2 \pm 2\sqrt{3}$

$c>0$より、$c = 2 + 2\sqrt{3}$

(5) 余弦定理を用いる。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

$\cos B = \frac{(1+\sqrt{3})^2 + 2^2 - (\sqrt{6})^2}{2(1+\sqrt{3})(2)}$

$\cos B = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3 + 4 - 6}{4(1+\sqrt{3})}$

$\cos B = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{4(1+\sqrt{3})}$

$\cos B = \frac{2(1 + \sqrt{3})}{4(1+\sqrt{3})}$

$\cos B = \frac{1}{2}$

$B = 60^\circ$

3. 最終的な答え

(4) $c = 2 + 2\sqrt{3}$

(5) $B = 60^\circ$