この問題は、幾何学に関する複数の小問から構成されています。具体的には、三角形OABにおけるベクトルの内分点や角度、三角形ABCと内分点によって構成される三角形LMNの重心、三角形OABの面積とベクトルとの関係、三角形ABCの座標が与えられたときの面積、円周上の点のベクトル方程式、そして円の直径の両端が与えられたときのベクトル方程式など、多岐にわたる内容を扱っています。

1. 問題の内容

この問題は、幾何学に関する複数の小問から構成されています。具体的には、三角形OABにおけるベクトルの内分点や角度、三角形ABCと内分点によって構成される三角形LMNの重心、三角形OABの面積とベクトルとの関係、三角形ABCの座標が与えられたときの面積、円周上の点のベクトル方程式、そして円の直径の両端が与えられたときのベクトル方程式など、多岐にわたる内容を扱っています。

2. 解き方の手順

問題1

(1) $\cos \alpha$ を $\vec{a}$ と $\vec{OD}$ を用いて表す。

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{OD}}{|\vec{a}||\vec{OD}|}$

(2) $\vec{OD}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表す。

点Dは辺ABを$|\vec{a}|:|\vec{b}|$に内分するので、

$\vec{OD} = \frac{|\vec{b}|\vec{a} + |\vec{a}|\vec{b}}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}$

(3) $\cos \alpha = \cos \beta$であり、$\alpha = \beta$であることを証明せよ。

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{OD}}{|\vec{a}||\vec{OD}|} = \frac{\vec{a} \cdot (|\vec{b}|\vec{a} + |\vec{a}|\vec{b})}{(|\vec{a}| + |\vec{b}|)|\vec{a}||\vec{OD}|} = \frac{|\vec{b}||\vec{a}|^2 + |\vec{a}|(\vec{a} \cdot \vec{b})}{(|\vec{a}| + |\vec{b}|)|\vec{a}||\vec{OD}|}$

$\cos \beta = \frac{\vec{b} \cdot \vec{OD}}{|\vec{b}||\vec{OD}|} = \frac{\vec{b} \cdot (|\vec{b}|\vec{a} + |\vec{a}|\vec{b})}{(|\vec{a}| + |\vec{b}|)|\vec{b}||\vec{OD}|} = \frac{|\vec{b}|(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}||\vec{b}|^2}{(|\vec{a}| + |\vec{b}|)|\vec{b}||\vec{OD}|}$

$\cos \alpha = \cos \beta$より、$\frac{|\vec{b}||\vec{a}|^2 + |\vec{a}|(\vec{a} \cdot \vec{b})}{(|\vec{a}| + |\vec{b}|)|\vec{a}||\vec{OD}|} = \frac{|\vec{b}|(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}||\vec{b}|^2}{(|\vec{a}| + |\vec{b}|)|\vec{b}||\vec{OD}|}$

$\frac{|\vec{b}||\vec{a}|(|\vec{a}| + \vec{a} \cdot \vec{b}/|\vec{a}|)}{(|\vec{a}| + |\vec{b}|)|\vec{a}||\vec{OD}|} = \frac{|\vec{a}||\vec{b}|(\vec{a} \cdot \vec{b}/|\vec{b}| + |\vec{b}|)}{(|\vec{a}| + |\vec{b}|)|\vec{b}||\vec{OD}|}$

$\frac{|\vec{b}|(|\vec{a}| + \vec{a} \cdot \vec{b}/|\vec{a}|)}{(|\vec{a}| + |\vec{b}|)|\vec{OD}|} = \frac{|\vec{a}|(\vec{a} \cdot \vec{b}/|\vec{b}| + |\vec{b}|)}{(|\vec{a}| + |\vec{b}|)|\vec{OD}|}$

よって$|\vec{b}|(|\vec{a}| + \vec{a} \cdot \vec{b}/|\vec{a}|) = |\vec{a}|(\vec{a} \cdot \vec{b}/|\vec{b}| + |\vec{b}|)$

問題2

$\triangle ABC$と$\triangle LMN$の重心が一致することを証明せよ。

$\vec{L} = \frac{\vec{B} + 3\vec{C}}{4}, \vec{M} = \frac{\vec{C} + 3\vec{A}}{4}, \vec{N} = \frac{\vec{A} + 3\vec{B}}{4}$

$\triangle LMN$の重心 $\vec{G_{LMN}} = \frac{\vec{L} + \vec{M} + \vec{N}}{3} = \frac{\frac{\vec{B} + 3\vec{C}}{4} + \frac{\vec{C} + 3\vec{A}}{4} + \frac{\vec{A} + 3\vec{B}}{4}}{3} = \frac{4\vec{A} + 4\vec{B} + 4\vec{C}}{12} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}$

$\triangle ABC$の重心 $\vec{G_{ABC}} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}$

よって、$\vec{G_{LMN}} = \vec{G_{ABC}}$なので、重心は一致する。

問題3

(1) $\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$を証明せよ。

$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 \cos^2 \theta$

$\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} = \sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 \cos^2 \theta} = \sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2(1 - \cos^2 \theta)} = \sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2\sin^2 \theta} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$

(2) $S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$を証明せよ。

$S = \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$ より、(1)から $S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$

(3) $\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2)$とおくと、$S = \frac{1}{2}|a_1b_2 - a_2b_1|$を証明せよ。

$S = \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$

$|\vec{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2, |\vec{b}|^2 = b_1^2 + b_2^2, \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$

$S = \frac{1}{2}\sqrt{(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) - (a_1b_1 + a_2b_2)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{a_1^2b_1^2 + a_1^2b_2^2 + a_2^2b_1^2 + a_2^2b_2^2 - (a_1^2b_1^2 + 2a_1b_1a_2b_2 + a_2^2b_2^2)} = \frac{1}{2}\sqrt{a_1^2b_2^2 - 2a_1b_1a_2b_2 + a_2^2b_1^2} = \frac{1}{2}\sqrt{(a_1b_2 - a_2b_1)^2} = \frac{1}{2}|a_1b_2 - a_2b_1|$

問題4

$A(1, 4), B(-3, 0), C(-2, -3)$ のとき、$\triangle ABC$ の面積を求めよ。

$S = \frac{1}{2}|(1(0 - (-3)) + (-3)(-3 - 4) + (-2)(4 - 0))| = \frac{1}{2}|3 + 21 - 8| = \frac{1}{2}|16| = 8$

問題5

(1) 円周上の任意の点をPとおくとき、$\vec{OC}, \vec{OP}, r$ の満たす関係式(円のベクトル方程式)を求めよ。

$|\vec{OP} - \vec{OC}| = r$

(2) $C(a, b), P(x, y)$ とするとき、$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$が成り立つことを証明せよ。

$\vec{OC} = (a, b), \vec{OP} = (x, y)$

$|\vec{OP} - \vec{OC}|^2 = |(x - a, y - b)|^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

問題6

(1) 円周上の任意の点をPとおくとき、この円のベクトル方程式を$\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OP}$ で表せ。

$(\vec{OP} - \vec{OA}) \cdot (\vec{OP} - \vec{OB}) = 0$

(2) $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), P(x, y)$ とするとき、$(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$が成り立つことを証明せよ。

$\vec{OA} = (x_1, y_1), \vec{OB} = (x_2, y_2), \vec{OP} = (x, y)$

$(\vec{OP} - \vec{OA}) \cdot (\vec{OP} - \vec{OB}) = (x - x_1, y - y_1) \cdot (x - x_2, y - y_2) = (x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$

3. 最終的な答え

問題1

(1) $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{OD}}{|\vec{a}||\vec{OD}|}$

(2) $\vec{OD} = \frac{|\vec{b}|\vec{a} + |\vec{a}|\vec{b}}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}$

(3) 証明省略

問題2

$\triangle ABC$と$\triangle LMN$の重心は一致する。

問題3

(1) $\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$

(2) $S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$

(3) $S = \frac{1}{2}|a_1b_2 - a_2b_1|$

問題4

$\triangle ABC$ の面積: 8

問題5

(1) $|\vec{OP} - \vec{OC}| = r$

(2) $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

問題6

(1) $(\vec{OP} - \vec{OA}) \cdot (\vec{OP} - \vec{OB}) = 0$

(2) $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$