双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (ただし $a>0$, $b>0$) 上の点 $P(p, q)$ (ただし $p>0$, $q>0$) を通り、2つの漸近線にそれぞれ平行な直線を引く。これらの直線と漸近線との交点を $y$ 座標が大きい方から順に $Q$, $R$ とするとき、平行四辺形 $ORPQ$ の面積 $S$ を求める。ここで、$O$ は原点を表す。

1. 問題の内容

双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (ただし $a>0$, $b>0$) 上の点 $P(p, q)$ (ただし $p>0$, $q>0$) を通り、2つの漸近線にそれぞれ平行な直線を引く。これらの直線と漸近線との交点を $y$ 座標が大きい方から順に $Q$, $R$ とするとき、平行四辺形 $ORPQ$ の面積 $S$ を求める。ここで、$O$ は原点を表す。

2. 解き方の手順

双曲線の漸近線は $y = \pm \frac{b}{a} x$ で与えられます。

点 $P(p, q)$ を通る漸近線 $y = \frac{b}{a} x$ に平行な直線の方程式は、

$y - q = \frac{b}{a} (x - p)$

$y = \frac{b}{a} x - \frac{b}{a} p + q$

点 $P(p, q)$ を通る漸近線 $y = -\frac{b}{a} x$ に平行な直線の方程式は、

$y - q = -\frac{b}{a} (x - p)$

$y = -\frac{b}{a} x + \frac{b}{a} p + q$

点 $Q$ は、$y = \frac{b}{a} x - \frac{b}{a} p + q$ と $y = -\frac{b}{a} x$ の交点なので、

$-\frac{b}{a} x = \frac{b}{a} x - \frac{b}{a} p + q$

$\frac{2b}{a} x = \frac{b}{a} p - q$

$x = \frac{a}{2b} (\frac{b}{a} p - q) = \frac{p}{2} - \frac{aq}{2b}$

$y = -\frac{b}{a} (\frac{p}{2} - \frac{aq}{2b}) = -\frac{bp}{2a} + \frac{q}{2}$

よって $Q(\frac{p}{2} - \frac{aq}{2b}, -\frac{bp}{2a} + \frac{q}{2})$

点 $R$ は、$y = -\frac{b}{a} x + \frac{b}{a} p + q$ と $y = \frac{b}{a} x$ の交点なので、

$\frac{b}{a} x = -\frac{b}{a} x + \frac{b}{a} p + q$

$\frac{2b}{a} x = \frac{b}{a} p + q$

$x = \frac{a}{2b} (\frac{b}{a} p + q) = \frac{p}{2} + \frac{aq}{2b}$

$y = \frac{b}{a} (\frac{p}{2} + \frac{aq}{2b}) = \frac{bp}{2a} + \frac{q}{2}$

よって $R(\frac{p}{2} + \frac{aq}{2b}, \frac{bp}{2a} + \frac{q}{2})$

平行四辺形 $ORPQ$ の面積は $|\vec{OP} \times \vec{OR}|$ で求められる。

$\vec{OP} = (p, q)$, $\vec{OR} = (\frac{p}{2} + \frac{aq}{2b}, \frac{bp}{2a} + \frac{q}{2})$

$\vec{OP} \times \vec{OR} = p(\frac{bp}{2a} + \frac{q}{2}) - q(\frac{p}{2} + \frac{aq}{2b}) = \frac{bp^2}{2a} + \frac{pq}{2} - \frac{pq}{2} - \frac{aq^2}{2b} = \frac{bp^2}{2a} - \frac{aq^2}{2b} = \frac{b^2p^2 - a^2q^2}{2ab}$

点 $P(p, q)$ は双曲線上の点なので、$\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = 1$ である。つまり、$b^2p^2 - a^2q^2 = a^2b^2$ である。

したがって、面積 $S = |\frac{a^2b^2}{2ab}| = \frac{ab}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{ab}{2}$