1, 2, 3, 4, 5, 6, 7の7個の数字から異なる5個の数字を選んで5桁の整数を作るとき、以下の問いに答えます。 (ア) 作られる5桁の整数は全部で何通りか。 (イ) 作られる5桁の整数のうち、奇数であるものは何通りか。 (ウ) 作られる5桁の整数のうち、千の位の数字と一の位の数字が偶数であるものは何通りか。 (エ) 作られる5桁の整数のうち、4の倍数であるものは何通りか。

1. 問題の内容

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7の7個の数字から異なる5個の数字を選んで5桁の整数を作るとき、以下の問いに答えます。

(ア) 作られる5桁の整数は全部で何通りか。

(イ) 作られる5桁の整数のうち、奇数であるものは何通りか。

(ウ) 作られる5桁の整数のうち、千の位の数字と一の位の数字が偶数であるものは何通りか。

(エ) 作られる5桁の整数のうち、4の倍数であるものは何通りか。

2. 解き方の手順

(ア) 異なる7個の数字から5個を選んで並べる順列なので、

$_{7}P_{5} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$通り

(イ) 一の位が奇数である必要がある。奇数は1, 3, 5, 7の4個。

まず一の位を決めると4通り。残りの6個から4個を選んで並べる順列は$_{6}P_{4} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$通り。

よって$4 \times 360 = 1440$通り。

(ウ) 千の位と一の位が偶数である必要がある。偶数は2, 4, 6の3個。

まず千の位と一の位の数字を決める。これは$_{3}P_{2} = 3 \times 2 = 6$通り。

残りの5個から3個を選んで並べる順列は$_{5}P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$通り。

よって$6 \times 60 = 360$通り。

(エ) 4の倍数となるのは、下2桁が4の倍数となるとき。

下2桁が4の倍数となる組み合わせは、

12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56, 64, 72, 76

ただし、同じ数字は使えないので、44は除外。

したがって、

12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64, 72, 76

の10通り。

残りの5個から3個を選んで並べる順列は$_{5}P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$通り。

よって$10 \times 60 = 600$通り。

3. 最終的な答え

ア: 2520

イ: 1440

ウ: 360

エ: 600