問題は2つあります。 (1) $\theta$ が第4象限の角で、$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。 (2) $-\frac{13}{4}\pi$ の正弦、余弦、正接の値を求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $\theta$ が第4象限の角で、$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

(2) $-\frac{13}{4}\pi$ の正弦、余弦、正接の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\tan \theta = -\frac{1}{2}$ より、直角三角形の高さと底辺の比が $1:2$ であることがわかります。

斜辺を $r$ とすると、$r = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ となります。

$\theta$ は第4象限の角なので、$\sin \theta < 0$ であり、$\cos \theta > 0$ です。

したがって、

$\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2) $-\frac{13}{4}\pi$ は $-3\pi - \frac{\pi}{4}$ と表せるので、$-\frac{\pi}{4}$ と同じ角度です。

$\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(-\frac{\pi}{4}) = -\tan(\frac{\pi}{4}) = -1$

3. 最終的な答え

(1)

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2)

$\sin(-\frac{13}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(-\frac{13}{4}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(-\frac{13}{4}\pi) = -1$